Question

Um monopolista produz e vende um produto em dois mercados, cada
qual com a seguinte equação de demanda: p1=40–3x1 e p2=90–2x2 em
que p1 e p2 são os preços unitários em cada mercado, x1 e x2 as
respectivas quantidades demandadas. A função custo é C(x1,
x2)=200+10(x1+x2).


(i) Obtenha os preços p1 e p2 que maximizam o lucro.


(ii)Se não puder haver discriminação de preços (ou seja, se p1 e
p2 tiverem que ser iguais), qual o preço que maximiza o lucro?​

Answer 1

Resposta:

(i) p1= 25   p2= 50

(ii) p=40

Explicação passo-a-passo:

Tem se as funções de preço e custo:

P1=40-3x1  

P2=90-2x2

C=200+10(x2+x2)

(i)

Para maximizar deve-se montar a equação de lucro (Lucro=recebidos-custos) já considerando as duas variáveis:  

Fazendo relação aos recebidos multiplica a quantidade vendida pelos preços:

Recebidos = x1(40-3x1) + x2(90-2x2)

Função lucro portanto será:

l(x1,x2)= x1(40-3x1) + x2(90-2x2) – (200+10(x2+x2))

l(x1,x2)= -3x12¬ – 2x22 – 30x1 - 80x2 – 200

Encontra as derivadas parciais:

Lx1= - 6x1 + 30

Lx2= - 4x2 + 80

Igualo a 0 em um sistema

- 6x1 + 30=0 => x1=5

- 4x2 + 80=0 => x2=20

Tendo, portanto, os valores das variáveis podem então substituir nas funções de preço:

P1=40-3x1 => P1= 40 – 3 . 5 = 25

P2=90-2x2 => P2= 90 – 2 . 20 = 50

Os valores que maximizam o lucro são:

p1= 25

p2= 50

(ii)

cobrar um preço único que maximize seu lucro, tem que:

x1 + x2 = x

Da função de preço inversas fornecidas podemos obter as funções de demanda em cada mercado.  p1=40 – 3x1 => x1=(40-p1)/3

p2=90 – 2x2 => x2=(90-p2)/2

Nessa condição de p1 = p2 = p seja a demanda portanto x1 + x2=x

x=((40-P1)/3) + ((90-P2)/2)

x=(350-5P)/6 => x=175/3 – 5P/6

Pode-se agora fazer outra função lucro, e procurar o valor máximo

L(x)=  p(175/3 – 5p/6) – 200 - 10(175/3 – 5p/6)

L(x)= (175p)/(3) - (5p^2)/(6) – 200 - (1750)/(3) + (50p)/(3)

derivo

d/dp= - 5p/3 +200/3

encontre o ponto crítico igualando a zero encontrando assim o valor do preço:  

-5p/3 + 200/3  = 0  

p = 40