Question

Um modelo típico para diversos problemas de otimização em ciências e tecnologia se resume encontrar o máximo (ou mínimo) de uma função de várias variáveis
f restrita ` a curva /superfície de nível associada a função g, isto é

max f (x; y)
g(x; y) = C
ou

max f (x; y; z)
g(x; y; z) = C

min f (x; y)
g(x; y) = C
ou

min f (x; y; z)
g(x; y; z) = C

:
Assuma que o ponto (a; b) (ou (a; b; c)) obedece a condição de maximalidade (ou minimalidade) prévia



Mostre que o vetor gradiente da função é ortogonal ao vetor tangente
de qualquer curva de nível associada g.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Seja r(t) uma curva de nível de f contida no Dom(f), logo f(r(t)) = c.  Então pela regra da cadeia (implícito suas condições), df(r(t))/dt  = Grad(f(r(t)))*(r'(t)), mas como f é constante em r, temos que esse valor é nulo, portanto Grad(f(r(t))) é ortogonal a r'(t), o vetor tangente a curva de nível. Como r(t) é arbitrário mostramos o que queríamos.