Question

Um método para se estimar a ordem de grandeza de um número positivo N é usar uma pequena variação do conceito de notação científica. O método consiste em determinar o valor x que satisfaz a equação 10x= N e usar propriedades dos logaritmos para saber o número de casas decimais desse número. Dados log2 = 0,30 e log3 = 0,47, use esse método para decidir qual dos números abaixo mais se aproxima de N = 2120330. -) 1045 -) 1050 -) 1055 -) 1060 -) 1065 Resposta correta:1050

Answer 1

Para resolver esta questão, precisamos relembrar de duas propriedades importantes do logaritmo, a propriedade da potência e da multiplicação, descritas abaixo:
$log(x*y) = log(x)+log(y) \\ log(x^y) = ylog(x)$

Pelo enunciado, temos que determinar o valor de x que satisfaça a equação $10^x =N$.

Se dado que $N = 2^{120}3^{30}$, podemos igualar os N:
$10^x = 2^{120}3^{30}$

Aplicando o logaritmo de base 10 nos dois membros e aplicando as propriedades vistas:
$log(10^x) = log(2^{120}3^{30}) \\ xlog(10) = log(2^{120})+log(3^{30}) \\ x*1 =120log(2)+30log(3) \\ x = 120*0,3 + 30*0,47 \\ x = 36+14,1 \\ x = 50,1$

Então o valor que mais se aproxima de N é $10^{50}$.

A resposta correta é a alternativa B.