Question

Na figura ao lado, os pontos A e P pertencem à circunferência de centro na origem e raio 1, o ponto R pertence ao eixo das abscissas e o ângulo t, em radianos, pode variar no intervalo (0,n), dependendo da posição ocupada por P. Com base nessas informações, considere as afirmativas a seguir: 1. O comprimento do segmento AP é 2cos t. 2. A área do triângulo OAP, em função do ângulo t, é dado por f(t) =1% sen t. 3. A área do triângulo ORP, em função do ângulo t, é dado por g(t) = V sen(2t). Assinale a alternativa correta. -) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. -) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. -) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. -) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. -) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. Resposta correta:Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

Answer 1

Podemos resolver utilizando área de triângulos.

Na figura, temos que o triângulo OAP tem base medindo OA e altura medindo RP.
Perceba que RP é o cateto oposto a t no triângulo ORP. Então RP = sen(t)*OP.
Como a área do triângulo é dada pela base vezes a altura dividido por 2:
$A_{OAP} = \dfrac{OA*sen(t)*OP}{2}$

Como OP e OA medem 1 (raio da circunferencia), a área do triângulo OAP é sen(t)/2.

A área do triângulo ORP é dada em função do cateto adjacente a t e pela altura:
$A_{ORP} = \dfrac{OR*RP}{2} = \dfrac{cos(t)*sen(t)}{2}$

Da relação trigonométrica, o numerador vale sen(2t)/2. Então a área de ORP é sen(2t)/4.

Afirmativas 2 e 3 corretas.

Resposta: C