Question

Quando escrevemos 4307, por exemplo, no sistema de numeração decimal, estamos nos referindo ao número 4 x 103+ 3 x 102+ 0 x 101+ 7 x 100. Seguindo essa mesma idéia, podemos representar qualquer número inteiro positivo utilizando apenas os dígitos 0 e 1, bastando escrever o número como soma de potências de 2. Por exemplo, 13 = 1x 23+ 1x 22+ 0 x 21+ 1x 20e por isso a notação [1101]2é usada para representar 13 nesse outro sistema. Note que os algarismos que ali aparecem são os coeficientes das potências de 2 na mesma ordem em que estão na expressão. Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: Assinale a alternativa correta. -) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. -) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. -) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras. -) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras. -) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras. Resposta correta:Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras.

Answer 1

Olá.

 

Transcrevo as assertivas, justificando-as adequadamente.

 

Assertiva 1

 

$\mathsf{\left|111\right|_2=7}$

 

Para saber se é verdade essa afirmação, temos de calcular o valor da notação. O meio algébrico de representar essa notação é:

 

$\mathsf{|a_1a_2a_3...a_n|=a_1\times2^{n-1}+a_2\times2^{n-2}+a_3\times2^{n-3}+...+a_{n+1}\cdot2^{1}+a_n\cdot2^0}$

 

Utilizando isso, vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{\left|111\right|_2=1\times2^2+1\times2^1+1\times2^0}\\\\ \mathsf{\left|111\right|_2=1\times4+1\times2+1\times1}\\\\ \mathsf{\left|111\right|_2=4+2+1}\\\\ \mathsf{\left|111\right|_2=7~\checkmark}$

 

Com base no que foi mostrado, podemos afirmar que essa assertiva é verdadeira.

 

$\textsf{------------------------------}$

 

Assertiva 2

 

$\mathsf{\left|110\right|_2+\left|101\right|_2=\left|1010\right|_2}$

 

Assim como no caso anterior, devemos testar para saber a veracidade dessa afirmação. Para isso, usarei a mesma técnica da última assertiva.

 

Descobrindo o valor individual de cada notação, teremos:

 

$\mathsf{\left|110\right|_2=1\times2^2+1\times2^1+0\times2^0}\\\\ \mathsf{\left|110\right|_2=1\times4+1\times2+0\times1}\\\\ \mathsf{\left|110\right|_2=4+2+0}\\\\ \mathsf{\left|110\right|_2=6}\\\\ \\\mathsf{\left|101\right|_2=1\times2^2+0\times2^1+1\times2^0}\\\\ \mathsf{\left|101\right|_2=1\times4+0\times2+1\times1}\\\\ \mathsf{\left|101\right|_2=4+0+1}\\\\ \mathsf{\left|101\right|_2=5}$

 

$\mathsf{\left|1010\right|_2=1\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+0\times2^0}\\\\ \\\mathsf{\left|1010\right|_2=1\times8+0\times4+1\times2+0\times1}\\\\ \\\mathsf{\left|1010\right|_2=8+0+2+0}\\\\ \\\mathsf{\left|1010\right|_2=10}$

 

Substituindo valores na expressão inicial, teremos:

 

$\mathsf{\left|110\right|_2+\left|101\right|_2=\left|1010\right|_2}\\\\ \mathsf{6+5=10}\\\\ \mathsf{11=10~X}$

 

Com base no que foi mostrado, podemos afirmar que essa assertiva é falsa, pois 11 não é igual a 10.

 

$\textsf{------------------------------}$

 

Assertiva 3

 

Qualquer que seja o número inteiro positivo k, a expressão de $\mathsf{2^k}$ em potências de 2 tem apenas um dígito diferente de 0.

 

Para melhor interpretar essa assertiva, transcrevo um pedaço do enunciado: “podemos representar qualquer número inteiro positivo utilizando apenas os dígitos 0 e 1”.

 

Com esse trecho, podemos afirmar que além de zero, o dígito pode ser 1, logo, a assertiva está correta.

 

$\textsf{------------------------------}$

 

Assertiva 4

 

Se $\begin{matrix} \mathsf{a=\left[\underset{\textsf{20 d\'igitos}}{\underbrace{1111...11}}\right]_2}\\\\ \end{matrix}$, então $\begin{matrix} \mathsf{2\times a=\left[\underset{\textsf{21 d\'igitos}}{\underbrace{1111...110}}\right]_2}\end{matrix}$.

 

Para responder a essa assertiva, devemos nos lembrar de dois conceitos:

 

     - Distributiva: quando aplicamos distributiva em vários termos que estão somando/subtraindo, multiplicamos o valor fora do parênteses por todos os valores. Um exemplo algébrico:

 

$\mathsf{a(b+c-d)~\longrightarrow~ab+ac-ad}$

 

     - Produto entre potências de mesma base: nesses casos, mantemos a base e somamos o expoente.

 

No caso da assertiva, teremos uma soma do tipo:

 

$\mathsf{a=|a_1a_2a_3...a_{20}|=1\times2^{19}+1\times2^{18}+...+1\cdot2^{1}+1\cdot2^0}\\\\ \mathsf{a=|a_1a_2a_3...a_{20}|=2^{19}+2^{18}+...+2^{1}+2^0}$

 

Como iremos multiplicar todos os algarismos por 2, podemos prever que acontecerá o seguinte:

 

$\mathsf{2\times a}\\\\ \mathsf{2\times|a_1a_2a_3...a_{20}|}\\\\ \mathsf{2\cdot\left(2^{19}+2^{18}+...+2^{1}+2^0\right)}\\\\ \mathsf{2^{19+1}+2^{18+1}+...+2^{1+1}+2^{0+1}}\\\\ \mathsf{2^{20}+2^{19}+...+2^{2}+2^{1}}$

 

A notação dada com 21 dígitos é exatamente o dobro da inicial, pois tendo o último termo igual a 0, podemos anulá-lo (pois o produto de qualquer número com zero é zero).

 

$\textsf{------------------------------}$

 

Com base no que foi mostrado, podemos afirmar que a resposta correta está na 4ª alternativa (a que seria a “D”).

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$

Answer 2

Quais são os assuntos dessa questão? Tem a ver com sistema binário, progressão geométrica, potência...o que exatamente?