Question

Um ligonete de ouro e prata pesa 2Kg. Ao ser submergido em água, sofre uma perda de 125g. Qual é a composição do ligonete, sabendo que os pesos específicos do ouro e da prata são 19g/cm^3 e 10,5g/cm^3 , respectivamente ?

Answer 1

Resposta: mo (massa do ouro) = 1,536 Kg

                 mp (massa da prata) = 0,464 Kg

Explicação passo-a-passo:

    Primeiro temos que descobrir o volume da peça, utilizando a fórmula:

                            Pa = P - E , onde:

    Pa = Peso aparente

    P = Força peso (m*g)

    E = Força de empuxo (Vs * df * g)

    m = massa

    g = aceleração da gravidade

    Vs = Volume submerso ou volume da peça

    df = densidade do fluido (água tem densidade igual a 1000 Kg/m³)

    Peso aparente é o peso que a peça apresenta dentro da água, ou seja, como a peça sofre uma perda de 0,125 Kg a sua "massa aparente"(ma) será igual a 1,875 Kg.

    Lembrando que a força Peso = m * g

    Pa = ma * g

                           Pa = P - E

                           E = P - Pa

              Vs * df * g = (m * g) - (ma * g)

              Vs * df * g = g * (m - ma)

              Vs = [g * (m - ma)] / df * g

    Podemos eliminar "g" da expressão, pois este está sendo multiplicado no numerador e no denominador da fração, portanto:

              Vs = (m - ma) / df

              Vs = (2 - 1,875) / 1000

              Vs = 125 * $10^{-6}$ m³

    Agora, de posse desse volume, podemos elaborar uma relação entre o volume do ouro (Vo), o volume da prata (Vp) e resolver o problema através de um sistema linear.

    A soma da massa do ouro (Mo) com a massa da prata (Mp) é igual a 2 Kg.

              Mo + Mp = 2

    E como:

              d = m / v

    Para o ouro teremos:

              Do = Mo / Vo

              Mo = Do * Vo

              Mo = 19000 * Vo

              Mo = 19 * 10³ * Vo

    Onde "Vo" é o volume do ouro e "Do" é a densidade do ouro. A densidade do ouro é igual a 19 g/cm³ , porém será necessário alterar a unidade de medida de g/cm³ para Kg/m³, por isso "Do" = 19000 Kg/m³ ou "Do" = 19 * 10³ Kg/m³.

    E como a densidade da prata (Dp) é igual a 10,5 g/cm³ teremos "Dp" = 10,5 * 10³ Kg/m³.

    Portanto:

              Dp = Mp / Vp

              Mp = Dp * Vp

              Mp = 10500 * Vp

              Mp = 10,5 * 10³ * Vp

    Substituindo os valores Mo e Mp da equação:

              Mo + Mp = 2

              (19 * 10³ * Vo) + (10,5 * 10³ * Vp) = 2

    Já sabemos também que o Volume da peça é igual a 125 * $10^{-6}$ m³, porém o volume da peça é a soma do volume de ouro (Vo) com o volume da prata (Vp), portanto:

              Vo + Vp = 125 * $10^{-6}$ m³

    Isolando "Vp" encontramos:

              Vo + Vp = 125 * $10^{-6}$

              Vp = 125 * $10^{-6}$ - Vo

    Agora vamos substituir "Vp" na equação:

              (19 * 10³ * Vo) + (10,5 * 10³ * Vp) = 2

              (19 * 10³ * Vo) + [10,5 * 10³ * (125 * $10^{-6}$ - Vo)] = 2

    E como o valor 2 pode ser representado por 2000 * $10^{-3}$, teremos:

              (19 * 10³ * Vo) + [10,5 * 10³ * (125 * $10^{-6}$ - Vo)] = 2000 * $10^{-3}$

              (19 * 10³ * Vo) + (1312,5 * $10^{-3}$) - (10,5 * 10³ * Vo) = 2000 * $10^{-3}$

              (19 * 10³ * Vo) - (10,5 * 10³ * Vo) = 2000 * $10^{-3}$ - 1312,5 * $10^{-3}$

              8,5 * 10³ * Vo = 687,5 * $10^{-3}$

              Vo = $\frac{687,5 * 10^{-3} }{8,5 * 10³}$

              Vo = 80,88 * $10^{-6}$ m³

    Agora que descobrimos o volume do ouro (Vo) poderemos determinar também a sua massa e consequentemente a massa da prata.

              Mo = Do * Vo

              Mo = 19 * 10³ * 80,88 * $10^{-6}$

              Mo = 1536,72 * $10^{-3}$ Kg

              Mo = 1,536 Kg

    E para determinar a massa da prata teremos:

              Mp = 2 - Mo

              Mp = 2 - 1,536

              Mp = 0,464 Kg