Question

um lago é poluído pelos rejeitos de uma fábrica siderúrgica no interior de minas gerais. os ecologistas observam que, quando a concentração de poluentes é x partes por milhão (ppm), existem f peixes de uma espécie de tilápia no lago, onde f=32.000
(3+x)
quando existem 8.000 peixes no lago, a poluição está aumentando á taxa de 1,0 ppm/ano. com que taxa a poluição de peixes está variando por anual nessa situação?

Answer 1

Temos que:

$F = \frac{32.000}{3+ \sqrt{x} }$

Vamos calcular o valor de "x" quando tivermos 8.000 peixes no lago.

$\\ 800 = \frac{32.000}{3+ \sqrt{x} } \\ \\ (3+ \sqrt{x})*8.000 = 32.000 \\ \\ (3+ \sqrt{x} ) = \frac{32.000}{8.000} \\ \\ 3+ \sqrt{x} = 4 \\ \\ \sqrt{x} = 4-3 \\ \\ \sqrt{x} =1 \\ \\ x =1$
-------------------------------------

Por outro lado, temos uma derivada implicitamente em relação ao tempo.

Dados:

$\\ \frac{dF}{dt} = ? \\ \\ \frac{dX}{dt} = 1,0ppm/ano \\ \\ x = 1$
------------------------------

Derivando implicitamente teremos:

$\\ F = \frac{32.000}{3+ \sqrt{x} } \\ \\ \frac{dF}{dt} = \frac{d}{dt} ( \frac{32.000}{3+ \sqrt{x} } ) \\ \\ \frac{dF}{dt} = \frac{32.000'(3+ \sqrt{x} )-32.000 \frac{d}{dt} (3+ \sqrt{x} )'}{(3+ \sqrt{x} )^2} \\ \\ \frac{dF}{dt} = \frac{0*(3+ \sqrt{x} )-32.000*(0+ \frac{1}{2 \sqrt{x} }* \frac{dx}{dt} )}{(3+ \sqrt{x} )^2} \\ \\ \frac{dF}{dt} = \frac{ \frac{-16.000}{ \sqrt{x} }* \frac{dx}{dt} }{(3+ \sqrt{x} )^2} \\ \\ p/x=1$

e

dx/dt = 1,0ppm/ano teremos:

$\\ \frac{dF}{dt} = \frac{ \frac{-16.000}{ \sqrt{1} }* 1,0ppm/ano }{(3+ \sqrt{1} )^2} \\ \\ \frac{dF}{dt} = \frac{-16.000}{4^2} \\ \\ \frac{dF}{dt} = \frac{-16.000}{16} \\ \\ \frac{-16.000}{4^2} = -1.000/ano$

Sinal negativo indica que a população esta diminuindo!

Answer 2

Resposta:

- 1,0

Explicação passo-a-passo:

Este exercício está relacionada a taxa de variação da população de peixes em uma lago. Sempre que tratamos de uma taxa de variação, estamos falando de derivada.

Isso ocorre pois a derivada de uma função é a taxa de variação de sua variável em relação a um ponto. Desse modo, devemos derivar a expressão fornecida e substituir o valor indicado. Com isso, obtemos a seguinte taxa de variação:

$f=\frac{32000}{3+\sqrt{x}}\\ \\ \\ \frac{df}{dt}=\frac{\frac{-16000}{\sqrt{x}}\times \frac{dx}{dt}}{(3+\sqrt{x})^2}\\ \\ \frac{df}{dt}=\frac{\frac{-16000}{\sqrt{1}}\times 1}{(3+\sqrt{1})^2}=-1,0$

Uma vez que esse valor é negativo, podemos concluir que a população de peixes é decrescente.

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