Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distância de 40 m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre a) 4,1 e 4,4 m. b) 3,8 e 4,1 m. c) 3,2 e 3,5 m. d) 3,5 e 3,8 m.
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Soluções para a tarefa
A altura máxima que a bola atingiu foi 4 metros, valor entre 3,8 e 4,1 metros, alternativa B!
1) Para responder o problema proposto, devemos lembrar a equação que descreve a trajetória parabólica, a qual é dada por: y = ax² + bx + c. Vale ressaltar que como a parábola possui sua concavidade virada para baixo, isso resulta que o coeficiente "a" que acompanhada o quadrado da equação é negativo.
2) Assim, conforme os dados apresentados pelo problema e determinando que o ponto que a bola foi chutada é o ponto (0,0), podemos determinar os outros pontos com os dados apresentados pelo problema como sendo:(30,3) e (40,0).
3) Logo, substituindo os pontos na equação apresentada, teremos:
- Ponto (0,0):
0 = -a * 0 + b * 0 + c
c = 0 (I)
- Ponto (30,3):
3 = -a * 30² + b * 30
900 * a - 30 * b + 3 = 0 (II)
- Ponto (40,0):
0 = -a * 40² + b * 40
1600 * a - 40 * b = 0
b = 40 * a (III)
4) Substituindo III em II, teremos:
900 * a - 30 * (40 * a) + 3 = 0
a = 0,01
5) Com o valor de a determinado, podemos encontrar o valor de b substituindo a na equação III. Logo, teremos:
b = 40 * 0,01
b = 0,4
6) Assim, com os valores de a, b e c determinados podemos escrever a equação que define a trajetória. Logo:
y = -0,01 * x² + 0,4 * x (Derivando)
y' = 2 * ( -0,01 * x) + 0,4 = 0
y' = -0,02x + 0,4 = 0
0,02 * x = 0,4
x = 20 metros
7) Por fim, substituindo o valor de x na equação que descreve a trajetória parabólica, teremos:
y = -0,01 * (20)² + 0,4 * 20
y = 4 metros