Question

Um homem de massa 80kg está de pé sobre um bloco de gele de 2m2 de área, flutuando em água doce. Qual é a menor espessura que pode ter o bloco, para que a face que suporta o homem fique a rasar à superfície da água?

Densidade gelo = 0,92 g/cm3
Densidade água = 1,00 g/cm3

Answer 1

Se a face superior do bloco fica a rasar à superfície da água, então todo o bloco de gelo está imerso. Portanto, a impulsão (empuxo) sentida pelo bloco tem módulo:

$I = \rho_\textrm{\'{a}gua}Vg,$

sendo $\rho_\textrm{\'{a}gua}$ a densidade da água, $V$ o volume do bloco e $g$ a aceleração gravítica.

Por outro lado, o peso combinado do bloco e do homem tem módulo:

$P_\textrm{total} = mg + Mg = (m+M)g,$

sendo $m$ a massa do homem e $M$ a massa do bloco de gelo. Uma vez que o gelo tem densidade $\rho_\textrm{gelo}$, a massa do bloco é:

$M = \rho_\textrm{gelo} V.$

Do equilíbrio de forças, tem-se:

$I = P_\textrm{total} \iff \rho_\textrm{\'{a}gua}Vg = (m+\rho_\textrm{gelo} V)g \iff V = \dfrac{m}{\rho_\textrm{\'{a}gua}-\rho_\textrm{gelo}}}.$

Visto que o bloco tem área $A$, designando por $h$ a sua espessura, tem-se:

$V=Ah,$

pelo que obtemos a seguinte expressão para a espessura:

$V = Ah = \dfrac{m}{\rho_\textrm{\'{a}gua}-\rho_\textrm{gelo}}} \iff h = \dfrac{m}{A(\rho_\textrm{\'{a}gua}-\rho_\textrm{gelo})}}.$

Substituindo valores, vem:

$\dfrac{m}{A(\rho_\textrm{\'{a}gua}-\rho_\textrm{gelo})}} = \dfrac{80\textrm{ kg}}{2\textrm{ m}^2 \times (1.00-0.92)\textrm{ kg/m}^3\times 10^3} = 0.5 \textrm{ m}.$

Assim, concluímos que o bloco deve ter uma espessura mínima de $0.5 \textrm{ m}$ para suportar o homem.