Um grupo é constituído de 10 pessoas, entre elas Jonas e Cesar. O grupo é disposto ao acaso em uma fila. Qual a probabilidade de que haja exatamente 4 pessoas entre Jonas e Cesar ?
Soluções para a tarefa
P10 = 10! = 3628800
2° vamos calcular os locais onde Jonas e Cesar devem ficar.
Jonas 1° e Cesar 6°
Jonas 2° e Cesar 7°
Jonas 3° e Cesar 8°
Jonas 4° e Cesar 9°
Jonas 5° e Cesar 10°
Ou
Cesar 1° e Jonas 6°
Cesar 2° e Jonas 7°
Cesar 3° e Jonas 8°
Cesar 4° e Jonas 9°
Cesar 5° e Jonas 10°
Temos 10 maneiras diferente de dispor Jonas e Cesar.
Assim teremos uma permutação das outras 8 pessoas multiplicado por 10.
10 x P8 = 10 x 8!
10 x 40320 =
403200
Agora vamos calcular a probabilidade.
P = 403200/3628800
P = 1/9
Resposta:
É a questão 423 do volume 5 da coletânea Fundamentos de Matemática Elementar (FME); o gabarito é 1/9.
Explicação passo a passo:
A explicação acima requer que você conte todos os casos disjuntos para quais as exigências do verbatim são válidas, o que muitas das vezes não é algo prático. Ofereço uma resolução alternativa e mais generalizada:
O nosso evento desejado pode ser construído da seguinte forma:
1. Posicione Jonas e César em fila: _J_/_/_/_C_
2. Escolha 4 das 8 pessoas restantes para preencher o espaço entre Jonas e César. Isso pode ser feito em C(8,4) maneiras. [C(n,k) é o coeficiente binominal - n escolhe k]
3. Permute essas 4 pessoas. Isso pode ser feito em 4! maneiras.
4. Distribua as 8-4=4 pessoas restantes entre a frente de Jonas, ou atrás de César. Isso pode ser feito em C(4+2-1,4)=C(5,4)=5 maneiras. [Se essa etapa parece confusa, revise combinações com repetição; em geral, C(n+k-1,n) denota o número de maneiras de distribuir n objetos idênticos em k recipientes distintos]
5. Permute essas 4 pessoas. Isso pode ser feito em 4! maneiras.
6. Por fim, permute Jonas e César. Isso pode ser feito em 2! maneiras.
Pelo Princípio da Multiplicação, o número de formas de construir tal evento é o produto do número de opções de cada etapa. Isto é:
1*C(8,4)*4!*5*4!*2! = 403200
Os eventos possíveis (espaço amostral) são todas as formas de organizar 10 pessoas em fila - o que pode ser feito em 10! maneiras.
A probabilidade do nosso evento desejado é então: 403200/10! = 1/9
Uma outra solução:
Trate Jonas, César e as 4 pessoas entre eles como um único bloco. Temos 10-6+1=5 lugares na fila para colocar esse bloco. Permutamos Jonas e César: 2!; e permutamos as 8 pessoas restantes: 8!, Temos então todos os arranjos possíveis do nosso evento desejado, que são 5*8!*2! = 403200 em número. O espaço amostral é obviamente o mesmo, portanto esta solução produz a mesma resposta: 403200/10! = 1/9.