Question

Um grupo de professores, tentando criar mais dificuldade em questões de geometria, criou um triângulo retângulo representado na figura ao lado, no qual existem três círculos tangentes entre si e aos lados do triângulo. Sabendo-se que o raio do maior é 5 m e o maior cateto do triângulo mede 17 m, qual a área aproximada do menor círculo, considerando π = 3,14? GAB - 3,0 m²

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Como os três círculos são tangentes entre si e aos lados do triângulo, a linha que liga o centro do círculo maior ao vértice do triângulo forma uma novo triângulo retângulo (desenhado em vermelho na figura) de hipotenusa:

h² = 5² + 12² = 25 + 144

h = 13 m

Trançando linhas horizontais a partir do centro dos outros dois círculos até o cateto da esquerda do triângulo vermelho, estes formam novos triângulos retângulos (em azul 1 e 2) que são semelhantes ao vermelho. Suas hipotenusas correspondem aos raios dos círculos.

Chamando de R o raio do círculo do meio e r o do círculo menor.

Do triângulo 1, o cateto à esquerda tem comprimento 5 - R e a hipotenusa 5 + R; do triângulo 2, o cateto à esquerda tem comprimento R - r e a hipotenusa r + R.

Usando a proporção de semelhança de triângulos para o 1:

$\dfrac{5}{13} = \dfrac{5-R}{5+R} \\\\25 + 5R = 65 - 13R\\18R = 40\\\\R = \dfrac{20}{9} m$

Usando a proporção de semelhança de triângulos para o 2, conhecendo R:

$\dfrac{5}{13} = \dfrac{R-r}{r+R} \\\\\dfrac{5}{13} = \dfrac{\frac{20}{9} -r}{r+\frac{20}{9} }\\\\5r + \frac{100}{9} = \frac{260}{9} - 13r\\\\18r = \frac{160}{9} \\\\r = \dfrac{80}{81}\\\\r = 0.99 m$

Cálculo da área do triângulo menor:

A = πr² = 3,14*0,99*0,99

A = 3,08 m²