Question

Um grupo de amigos resolveu se reunir para comemorar a volta às aulas. Algumas pessoas queriam ir ao cinema, algumas queriam ir à lanchonete e outras, em ambos os locais. Sabe-se que 42 pessoas foram a pelo menos um dos locais. Sabe-se que 50% das pessoas que foram ao cinema, também foram à lanchonete e 40% das pessoas que foram à lanchonete, também foram ao cinema. Quantos amigos deste grupo foram ao cinema e à lanchonete?

Answer 1

Olá Deah.



Chamaremos de c, a quantidade de pessoas que foram ao cinema e de l, a quantidade de pessoas que foram a lanchonete

Sabemos que 50% das pessoas que foram ao cinema, foram a lanchonete, e que 40% das pessoas que foram a lanchonete, foram ao cinema. Portanto, essas quantidades representa as pessoas que foram simultaneamente em ambos os lugares.

Algebricamente, temos.

$\mathsf{\dfrac{50c}{100}=\dfrac{40l}{100}}\\\\\\\mathsf{50c=40l}$

Divida ambos os lados por 10

$\mathsf{5c=4l}\\\\\\\mathsf{\dfrac{5c}{4}=l}$


E por fim, sabemos que a quantidade de pessoas que foram a pelo menos a um desses locais, é 42, ou seja

$\mathsf{c+l-\dfrac{50c}{100}=42}$

Vamos entender o do porquê subtrair $\mathsf{\dfrac{50c}{100}}$ .

Como vimos antes, a quantidade de pessoas que foram simultaneamente em ambos os lugares é $\frac{50c}{100}$, c representa a quantidade de pessoas que foram ao cinema e l a quantidade de pessoas que form a lanchonete. Se nós somássemos, apenas c e l, estaríamos contando 2 vezes a quantidade de pessoas que foram aos dois locais. Por isso, subtraindo por $\mathsf{\frac{50c}{100}}$, não iremos contar essas pessoas 2 vezes. Mas poderia ser também $\mathsf{\frac{40l}{100}}$, já que representam a mesma quantidade.

Continuando

$\mathsf{c+l-\dfrac{50c}{100}=42}$

Mas sabemos que $\mathsf{l=\dfrac{5c}{4}}$

$\mathsf{c+\dfrac{5c}{4}-\dfrac{50c}{100}=42}$

Multiplique ambos os lados por 100

$\mathsf{c+\dfrac{5c}{4}-\dfrac{50c}{100}=4.200}\\\\\\\mathsf{100c+125c-50c=4.200}\\\\\\\mathsf{175c=4.200}\\\\\\\mathsf{c=\dfrac{4.200}{175}}\\\\\\\mathsf{c=24}$

Agora que sabemos a quantidade de pessoas que foram ao cinema, já é possível descobrir quantas foram simultaneamente em ambos os locais

$\mathsf{\dfrac{50c}{100}\Longrightarrow \dfrac{50\cdot24}{100}=12}$

Portanto, a quantidade de pessoas que foram ambos os locais é 12.

Dúvidas? comente.