Question

Um grupo de 10 pessoas, entre as quais está Maria. Deseja-se formar uma comissão de 3 pessoas, com componentes desse grupo

A) De quantas maneiras a comissão pode ser formada?

B) Em quantas delas Maria aparece?

C) Em quantas ela não aparece?

D) Relacione as respostas das três perguntas anteriores, utilizando numeros combinatorios. Que relação isso tem com a questão anterior?

Answer 1

Como não há qualquer menção a cargos ou outro tipo de ordenação nas comissões, podemos concluir que a ordem dos seus membros não tem importância, ou seja, poderemos resolver a questão utilizando combinações.

$C_{\,n,p}~=~\dbinom{n}{p}~=~\dfrac{n!}{p!\,\cdot\,(n-p)!}$

A)

Temos um total de 10 pessoas (n) e os grupos devem ser de 3 em 3 (p).

$\dfrac{10!}{3!\,\cdot\,(10-3)!}~=\\\\\\=~\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7!}{3\cdot2\cdot1\cdot(7!)}\\\\\\=~\dfrac{^510\!\!\!\!\backslash\cdot^39\!\!\!\backslash\cdot8\cdot^1\!7!\!\!\!\backslash}{^13\!\!\!\backslash\cdot^1\!2\!\!\!\backslash\cdot1\cdot^1\!7!\!\!\!\backslash}\\\\\\=~\dfrac{5\cdot3\cdot8\cdot1}{1\cdot1\cdot1\cdot1}\\\\\\=~\boxed{120~comissoes}$

B)

Se Maria está, obrigatoriamente, nas comissões, teremos agora apenas 9 pessoas (n) para 2 posições restantes (p) na comissão.

$\dfrac{9!}{2!\,\cdot\,(9-2)!}~=\\\\\\=~\dfrac{9\cdot8\cdot7!}{2\cdot1\cdot(7!)}\\\\\\=~\dfrac{9\cdot^4\!8\!\!\!\backslash\cdot^1\!7!\!\!\!\backslash}{^12\!\!\!\backslash\cdot1\cdot^1\!7!\!\!\!\backslash}\\\\\\=~\dfrac{9\cdot4\cdot1}{1\cdot1\cdot1}\\\\\\=~\boxed{36~comissoes}$

C)

Temos o total de comissões possíveis (120) e, também, o total de comissões com Maria (36). As comissões em que Maria não aparece podem então ser calculadas pela diferença entre esses resultados, acompanhe:

$^{Total~de}_{Comissoes}~=~^{Comissoes}_{com~Maria}~+~^{Comissoes}_{sem~Maria}\\\\\\120~=~36~+~^{Comissoes}_{sem~Maria}\\\\\\^{Comissoes}_{sem~Maria}~=~120~-~36\\\\\\\boxed{^{Comissoes}_{sem~Maria}~=~84}$

Poderíamos ainda ter calculado por uma combinação C9,3, já que teríamos um total de 9 pessoas (sem Maria) para agrupamentos de 3 a 3.

D)

A relação entre as perguntas anteriores foi mostrada na letra (C). Ficamos com o seguinte:

$^{Total~de}_{Comissoes}~=~^{Comissoes}_{com~Maria}~+~^{Comissoes}_{sem~Maria}\\\\\\\boxed{\dbinom{10}{3}~=~\dbinom{9}{2}~+~\dbinom{9}{3}}$

Obs.: A "questão" anterior não foi fornecida para que a relação pudesse ser feita.