Question

Um físico alpinista escalou uma alta montanha e verificou que, no topo, a pressão p do ar era igual a 0,44po, sendo po a pressão ao nível do mar. Ele notou também que, no topo, a temperatura T era igual a 0,88T0, sendo To a correspondente temperatura ao nível do mar, ambas temperaturas medidas em Kelvin. Considerando o ar no topo e ao nível do mar como um mesmo gás ideal, calcule a razão a l do entre a ideal, densidade a do ar no topo da montanha e a correspondente densidade do ao nivel do mar.

Answer 1

Após realizar os cálculos necessários, podemos afirmar que a razão entre a densidade d do ar no topo da montanha e a correspondente densidade d₀ ao nível do mar é igual a 1/2.

Equação geral dos gases

É uma equação que relaciona as condições de pressão, volume e temperatura de um gás ideal durante uma transformação.

É representada da seguinte forma:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{P_{0} . V_{0}}{T_{0}} = \dfrac{P . V}{T}} }$

Em que:

$\displaystyle \text { \mathsf{P_{0} = Press{\~a}o~inicial} }\\\displaystyle \text { \mathsf{V_{0} = Volume~inicial} }\\\displaystyle \text { \mathsf{T_{0} = Temperatura~inicial} }\\\displaystyle \text { \mathsf{P= Press{\~a}o~final} }\\\displaystyle \mathsf{V= Volume~final}\\\displaystyle \mathsf{T= Temperatura~final}$

Densidade

É a quantidade de massa por unidade de volume. Calculamos aplicando a seguinte fórmula:

$\boxed{\large \displaystyle \text { \mathsf{d = \dfrac{m}{V}} }}$

Em que:

$\displaystyle \mathsf{d = densidade}\\ \displaystyle \mathsf{m = massa}\\ \displaystyle \mathsf{V = volume}$

Dessa fórmula, podemos obter a seguinte relação:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{d = \dfrac{m}{V}} }\\\\\\\boxed{\large \displaystyle \text { \mathsf{V = \dfrac{m}{d}} }}$

Resolução do exercício

A questão considera o ar como um gás ideal. Podemos, portanto, aplicar a equação geral dos gases.

Organizando os dados da questão:

• P = 0,44 P₀
• T = 0,88 T₀

Aplicando a equação geral dos gases:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{P_{0} . V_{0}}{T_{0}} = \dfrac{P . V}{T}} }\\\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{P_{0} . V_{0}}{T_{0}} = \dfrac{0,44 P_{0} . V}{0,88T_{0}}} }\\\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{\backslash\!\!\!\!P_{0} . V_{0}}{\backslash\!\!\!\!\!T_{0}} = \dfrac{0,44 \backslash\!\!\!P_{0} .V}{0,88 \backslash\!\!\!\! T_{0}}} }\\\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{V_{0} = \dfrac{0,44V}{0,88}} }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{V_{0} = \dfrac{1V}{2}} }\\\\\\\boxed{\large \displaystyle \text { \mathsf{2 V_{0} = V} }}$

Tendo que o volume final V é duas vezes maior que o volume inicial V₀, podemos aplicar a fórmula da densidade para obter a razão entre as densidades D e D₀:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{d}{d_{0}} = \dfrac{\dfrac{m}{V}}{\dfrac{m}{V_{0}}}} }\\\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{d}{d_{0}} = \dfrac{\backslash \!\!\!\!m . V_{0}}{V . \backslash \!\!\!\!m}} }\\\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{d}{d_{0}} = \dfrac{V_{0}}{V}} }\\\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{d}{d_{0}}=\dfrac{\backslash\!\!\!\!V_{0}}{2\backslash\!\!\!\!V_{0}}} }\\\\\\\boxed{\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{d}{d_{0} } = \dfrac{1}{2}} }}$

A razão entre as densidades d e d₀ é igual a 1/2.

⭐ Espero ter ajudado! ⭐

Veja mais sobre a equação geral dos gases em:

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