Question

Um fabricante de conservas usa latas cilindricas de volume igual a 500 cm³. Quais devem ser as dimensões (altura e raio das bases) mais economicas das latas (com area total minima)?

Answer 1

Resposta:

Neste caso deve ser tomado o maior raio possível, com a menor altura possível, mantendo o mesmo volume.

Explicação passo-a-passo:

Neste caso deve ser tomado o maior raio possível, com a menor altura possível, mantendo o mesmo volume.

V=AB*h

500 cm³=AB*1 cm

500 cm³/1cm=AB

AB=500 cm²

2πr²=500 cm²

r²=500 cm²/2π

r²=250 cm²/π

r²=79.577... aproximadamente

r=8.92....aproximadamente

Através desta expressão é possível testar vários valores de altura ou raio para achar a menor área possível.

2πr²*h=500

πr²*h=250

hr²=250/π

Answer 2

Com base nos conceitos de máximo e mínimo de uma função utilizando derivadas, pode-se afirmar que o raio mede aproximadamente 8,92062 cm e a altura da lata é de aproximadamente 2 cm.

Como encontrar o valor mínimo de uma função ?

A relação entre as variáveis é dada pelas seguintes expressões

• Volume = $S_b *h$
• $S_{Total} = 2*S_b + Comprimento*h$

Sabemos que o volume deve ser de 500 cm³, logo:

Volume = $S_b *h$

500 = $S_b *h$

h = $\frac{500}{S_b}$

h = $\frac{500}{\pi *r^2}$

Substituindo "h" na fórmula da área total temos:

$S_{Total} = 2*S_b + Comprimento*h$

$S_{Total}$ = $2*\pi *r^2 + 2*\pi *r*h$

$S_{Total}$ = $2*\pi *r^2 + 2*\pi *r*\frac{500}{\pi *r^2}$

$S_{Total}$ = $2*\pi *r^2 + 1000*r^{-1}$

Dessa maneira para sabermos o valor mínimo devemos igualar a derivada da função a 0:

$S'_{Total} = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$

$0 = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$

$r^3 = \frac{250}{\pi }$

r ≅ 8,9206 cm

Por fim, basta substituirmos na expressão de "h":

h = $\frac{500}{\pi *r^2}$

h = $\frac{500}{\pi *(8,9206)^2}$

h = 2 cm

Saiba mais sobre derivadas em: brainly.com.br/tarefa/38549705

#SPJ2