Question

um exercicio basico sobre logaritmos...Ache os valores reais de x para os quais é possível determinar:

Answer 1

Determinar a condição de existência do logaritmo

$\mathrm{\ell og}_2\,\dfrac{x-1}{x+3}$

________________

O logaritmando deve ser positivo:

$\dfrac{x-1}{x+3}>0~~~\rightarrow~~\text{inequa\c{c}\~ao quociente}$


Para resolvê-la, vamos estudar o sinal do numerador e do denominador:

$\begin{array}{cc} x-1&~~\underline{\,---\,}\underset{-3}{\circ}\underline{\,---\,}\underset{1}{\circ}\underline{\,++++\,}\\\\\\ x+3&~~\underline{\,---\,}\underset{-3}{\circ}\underline{\,+++\,}\underset{1}{\circ}\underline{\,++++\,}\\\\\\ \dfrac{x-1}{x+3}&~~\underline{\,+++\,}\underset{-3}{\circ}\underline{\,---\,}\underset{1}{\circ}\underline{\,++++\,}\\\\\\ \end{array}$


Como queremos que o quociente seja maior que zero, o intervalo de interesse é

$x<-3~\text{ ou }~x>1$


Portanto, a condição de existência para este logaritmo é

$\big\{x\in\mathbb{R}:~x<-3~\text{ ou }~x>1 \right \big\}$


ou usando a notação de intervalos,

$x \in(-\infty,\,-3)\cup\left(1,\,+\infty \right )$


Bons estudos! :-)