Question

Um corpo de massa M desliza sem atrito, sujeito a uma força gravitacional vertical uniforme, sobre um “escorregador logarítmico”: suas coordenadas (x, y) no plano cartesiano, que representam distâncias medidas em metros, pertencem ao gráfico da função
f(x) = log1/2 x + 4.
O corpo começa sua trajetória, em repouso, no ponto A, de abscissa x = 1, e atinge o chão no ponto B, de ordenada y = 0, conforme figura abaixo.

Não levando em conta as dimensões do corpo e adotando 10m/s2 como o valor da aceleração da gravidade,

a) encontre a abscissa do ponto B;
b) escreva uma expressão para a energia mecânica do corpo em termos de sua massa M, de sua altura y e de sua velocidade escalar v;
c) obtenha a velocidade escalar v como função da abscis - sa do ponto ocupado pelo corpo;
d) encontre a abscissa do ponto a partir do qual v é maior do que √60 m/s.

Answer 1

A) Para encontrarmos a abscissa do ponto B, temos, para x = xB, e para y = 0

y = ㏒ $\frac{1}{2} x_{B} + 4$
0 = ㏒ $\frac{1}{2} x_{B} + 4$
㏒ $\frac{1}{2} x_{B} = - 4 [tex] x_{B} = ( \frac{1}{2})$⁻⁴
$x_{B}$ = 2⁴ ⇒ $x_{B}$ = 16


B) organizamos, então, uma expressão para a energia mecânica do corpo em termos de sua massa M, de sua altura y e de sua velocidade escalar v:

$E_{M} = E_{P} + E_{C} = Mgy + \frac{Mv^2}{2y}$

Para g = 10m/s², temos:
$E_{M} = M (10y + \frac{v^2}{2} (SI)$


C) Para obter a velocidade escalar v como função da abscissa do ponto ocupado pelo corpo:
1) y = ㏒$\frac{1}{2} x+4$

Para  x = 1, temos y = 4 e v = 0

2) $E_{M} = 40M = M [10(log \frac{1}{2} x + 4) + \frac{v^2}{2}]$
40 = 10㏒$\frac{1}{2} x + 40 + \frac{v^2}{2}$
$\frac{v^2}{2} = -10 log \frac{1}{2} x$

Sabendo que ㏒$\frac{1}{2} x =$ - ㏒₂x, temos:
v² = 20㏒₂x

v = √20㏒₂x (SI)


d) Para encontrar a abscissa do ponto a partir do qual v é maior do que √60 m/s:

Para v > √60
√20㏒₂x > √60
20㏒₂x > 60
㏒₂x > 3
x > 8m