Question

Considere a circunferência λ de equação cartesiana x2 + y2 – 4y = 0 e a parábola α de equação y = 4 – x2.

a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com α.
b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola α. Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem, simultaneamente, as inequações x2 + y2 – 4y ≤ 0 e y ≥ 4 – x2.

Answer 1

a) Os pontos da interseção de λ com α são definidos pelos pares ordenados (x;y), que são as soluções do sistema:

$\left \{ {{x^2 + y^2 - 4y=0} \atop {y= 4 - x^2}} \right.$ ⇔ 
⇔$\left \{ {{y^2 - 5y + 4=0} \atop {y=4 - x^2}} \right.$ ⇔ 
⇔ $\left \{ {{y=1} \atop {x= \sqrt{3} ou x = \sqrt{3} }} \right.$
ou $\left \{ {{y=4} \atop {x=0}} \right.$


b) Podemos inferir que o conjunto dos pontos (x;y) que satisfazem as inequações x² + y² - 4y ≤ 0 e y≥4 - x², simultaneamente, estão assim representados pela figura em anexo.

Answer 2

Resposta:

Ia=(+3^½ , +1), Ib=(-3^½, +1), V=(0,+4)  

Explicação passo-a-passo:

Detalhamento em https://geoconic.blogspot.com/p/2.html

a) x^2+ y^2- 4y=0 e y= 4-x^2 => y^2+x^2-4=0 => -x^2=y-4 => y^2+x^2-4=0 => x^2=-y+4  

-y+4+y^2-4y=0 => y^2-5y+4=0 => y=+4, e y’=+1. Se  y= 4-x^2 => +4=+4-x^2 => -x^2=0 =>  x=0; +1=4-x^2 => -x^2=-3 => x=+/-3^½ .  

Ia=(+3^½ , +1), Ib=(-3^½, +1), V=(0,+4)    

b1) x^2+ y^2- 4y=0 => y^2-4y=-x^2 => y^2-4y => (y-a)^2 = y^2-2ay+a^2 => -2ay=-4y  =>-2a=-4 => a=2 => (y-2)^2 => y^2-4y+4 => (y-2)^2=-x^2 +4 => (y-2)^2+(x+0)^2=4.  

Trata-se de uma circunferência com centro = C=(0, +2), de raio 2.

b2)  y= 4-x^2 => -(x-0)^2=y-4 => (x-0)^2=-(y-4) => trata-se de uma parábola com função quadrática  em x, logo vertical, e como o coeficiente angular é negativo, trata-se sua direção é com  concavidade para baixo. Seu vértice V=(0,+4)

b3a) (y-2)^2+(x+0)^2<=4 => Se x = 0 => (y-2)^2<=+4 => y^2-4y+4<=4 => y^2-4y<=0 =>  y<=0, y’<=+4; (y-2)^2+(x+0)^2<=4, se y=0 => (0-2)^2+(x+0)^2<=4 => +4+x^2<=+4 => x<=0;  b3b)  (x-0)^2<=-(y-4) =>  (x-0)^2+(y-4)<=0 =>  (x-0)^2<=0 =>x<=0  => y-4<=0 => y<=4  

Sendo assim, x<=0 e y<=+4, para simultaneamente atender as inequações

x^2+ y^2- 4y<=0 e y=> 4-x^2