Question

Um corpo de 100g estica uma mola em 5 cm. Se o corpo for impulsionado, a partir do equilíbrio, com uma velocidade para baixo de 10 cm/s, e se não houver resistência do ar. Qual sua posição em qualquer instante t? Em que instante o corpo retorna, pela primeira vez, a posição de equilíbrio?

Answer 1

Deduzindo a Equação Diferencial Ordinária (EDO) para o sistema massa-mola, tem-se que: x(t)=0,5*cos(200t) e t(0)=7,85 ms.

O sistema descrito no problema se encontra ilustrado na figura em anexo. Partindo da 2ª Lei de Newton, é possível obter a EDO que modela esse sistema massa-mola:

$\sum F=ma\\\\-kx=m\frac{d^2 x}{dx^2}\\\\m\frac{d^2 x}{dx^2} + kx=0 \hspace{0.5cm} \pmb{(\div m)}\\\\\frac{d^2 (x)}{dx^2}+\frac{k}{m}(x)=0$

Sendo assim, a solução dessa EDO é a própria posição do sistema em função do tempo, sendo dada por:

$x=A*cos(\omega t)$

Onde:

A: amplitude

ω: frequência natural de oscilação (ω=√k/m)

Encontrando o valor de K, o valor de ω e a função x(t), respectivamente:

$F=|-kx|\\\\0,1*10=k*0,05\\\\k=20 \ N/m\\\\\\\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\\\\\omega=\sqrt{\frac{20}{0,1}}\\\\\omega=200 \ rad/s$

$\pmb{x(t)=0,05*cos(200t)}$

O instante em que o corpo retorna à posição de equilíbrio pela primeira vez é:

$0=0,05*cos(200t)\\\\200t=cos^{-1} (0) \ \ \ \ (\theta \ em \ radianos)\\\\200t=1,57\\\\t=7,85 \times 10^{-3} \ s\\\\\pmb{t \approx 7,85 \ ms}$

Segue um pouco mais sobre oscilações: https://brainly.com.br/tarefa/2631968