Question

Um coronel dispõe seu regimento no triângulo completo, colocando um homem na primeira linha, 2 na segunda, 3 na terceira e assim por diante. Forma-se, assim, um triângulo com 171 homens, qual é o número de linhas?

Answer 1

Dá para resolver usando soma de uma PA, pois é uma PA de razão 1, ou seja,
$S_{n} = \frac{( a_{1} + a_{n} )n}{2}$, onde
$S_{n} =171, a_{1}=1, a_{n} = a_{1} +(n-1)r$  (termo geral da PA)
Substituindo o termo geral na soma de PA teremos
$S_{n} = \frac{(a_{1}+a_{1}+(n-1)r)n}{2}$
$S_{n}=\frac{(2a_{1}+rn-r)n}{2}$
Colocando os valores e resolvendo:
$171=\frac{(2.1+n-1)n}{2}$
$342=2n+ n^{2} -n$
$342=n^{2}+n$
Por Bhaskara, n = 18 ou n = -19. Então n = 18 fileiras, pois n é o número de fileiras e não existe fileiras negativas.
Espero ter ajudado

Answer 2

O número de linhas deste triângulo é 18.

Note que o número de homens em cada linha forma uma progressão aritmética de razão 1. A soma dos homens em todas as linhas é 171 que é igual a soma dos termos da progressão, dada pela expressão:

Sn = (a1 + an)n/2

Sendo an o n-ésimo termo da progressão, seu valor é dado pela fórmula do termo geral:

an = a1 + (n-1).r

an = n

Substituindo, temos:

171 = (1 + n)n/2

342 = n² + n

n² + n - 342 = 0

Utilizando a fórmula de Bhaskara, encontramos os resultados n = 18 e n = -19, como não há quantidade negativa de linhas, temos que o número de linhas é 18.

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