Question

Um carro parte de Uberaba com destino a Uberlândia com velocidade de 60 km/h. 20 minutos depois parte uma moto também de Uberaba com o mesmo destino à velocidade 90 km/h.
(A) Depois de quanto tempo a moto alcançará o carro?
(B) Quantos quilômetros percorreu a moto até alcançar o carro?

Answer 1

Consideremos um eixo orientado, sendo que a cidade de Uberaba representa a origem do eixo.

A abscissa $x$ nos fornece a posição do veículo (em quilômetros), em um dado instante $t\geq 0$ (em horas).

Vamos considerar o início da contagem do tempo o instante em que o carro sai da cidade de Uberaba:


$\bullet\;\;$ Função horária da posição do carro:

$x_{1}(t)=x_{1}(0)+v_{1}\,t\\ \\ \\ x_{1}(t)=0+60\,t\\ \\ \\ x_{1}(t)=60t\;\;\;\;(\mathrm{km})$


$\bullet\;\;$ Função horária da posição da moto:

A moto só começa a se mover no instante $t=20\mathrm{\;min}=\frac{1}{3}\,\mathrm{h}.$ Logo,

$x_{2}(t)=x_{2}\left(\frac{1}{3} \right )+v_{2}\,(t-\frac{1}{3})\\ \\ \\ x_{2}(t)=0+90\,(t-\frac{1}{3})\\ \\ \\ x_{2}(t)=90t-\frac{90}{3}\\ \\ x_{2}(t)=-30+90t\;\;\;\;(\mathrm{km})$


(A) Calcular o instante $t$ em que as posições do carro e da moto são iguais:

$x_{1}(t)=x_{2}(t)\\ \\ 60t=-30+90t\\ \\ \\ 60t-90t=-30\\ \\ -30t=-30\\ \\ t=\dfrac{-30}{-30}\\ \\ \\ \boxed{ \begin{array}{c} t=1\text{ hora} \end{array}}$

A moto alcançará o carro $1$ hora após o carro ter saído de Uberaba. Isto equivale a dizer que a moto percorreu durante 40 minutos até alcançar o carro.


(B) Calcular a posição da moto no instante em que ela alcança o carro:

Para $t=1\text{ h},$

$x_{2}(1)=-30+90\cdot 1\\ \\ x_{2}(1)=-30+90\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} x_{2}(1)=60\text{ km} \end{array}}$

A moto percorreu $60$ quilômetros até alcançar o carro.