Um caminhão e um carro estão em estradas diferentes que são perpendiculares e ambas são retas...... Calculo ll
Soluções para a tarefa
Primeiro modelamos o problema. No plano cartesiano, vamos supor que as estradas consideradas são os eixos x e y. Assim, o cruzamento é a origem. Temos então:
No instante considerado (vamos supor que no tempo t = 0), o caminhão está na posição (12,0) se aproximando a 80km/h. Ou seja, se sua posição é dada por ( f(t), 0 ) temos:
f'(t) = -80 e f(0) = 12
Assim, f(t) = 12 - 80t ( I )
Da mesma forma o carro esta na posição ( 0, g(t) ) com g(0) = 5 e g'(t) = 120
Assim, g(t) = 5 + 120t ( II )
A distância D(t) entre esses carros satisfaz o teorema de pitágoras:
D(t)² = f(t)² + g(t)² ( III )
O problema pede o valor de D'(0). Derivando temos:
2D'(t) D(t) = 2f'(t) f(t) + 2 g'(t)g(t)
D'(0) D(0) = f'(0) f(0) + g'(0) g(0)
Como D(0) = √(5²+ 12²) = 13 temos
13 D'(0) = -80*12 + 120*5 = -360
D'(0) = -360/13 < 0
Logo, D é descrescente perto de 0. Assim os carros estão aproximando a uma taxa de 360/13 km/h
Obs.: Observe que não usamos as equações ( I ) e ( II ) pra nada. Bastava saber o valor de f'(0), g'(0) e f(0), g(0). Um método mais trabalhoso para se resolver seria substituir as equações ( I ) e ( II ) em ( III ) e só então derivar.