Question

Um atleta, inicialmente no quilometro 0 de uma estrada, corre até o quilometro 14. Em seguida, ele da meia-volta e retorna correndo metade do percurso. Em seguida, da meia-volta novamente e percorre metade do trecho anterior e assim continua indefinidamente. Se ele continuar correndo desta forma indefinidamente, ele tendera a se aproximar cada vez mais de um ponto entre:
a) os quil^ometros 5 e 6.
b) os quil^ometros 6 e 7.
c) os quil^ometros 7 e 8
d) os quil^ometros 8 e 9.
e) os quil^ometros 9 e 10.

Answer 1

Em primeiro lugar temos que entender o que significa "correndo metade do percurso". Digamos que, inicialmente, ele corre D, então é como se o corredor estivesse no ponto D da reta.
Quando ele dá meia volta e corre metade do percurso quer dizer que ele regrediu D/2, então ele está no ponto D - D/2.
Quando ele dá meia volta de novo e percorre metade do que tinha corrido ele foi parar no ponto D - (D/2 - D/4) = D - D/2 + D/4.
Como ele faz esse processo infinitas vezes ele vai parar no ponto:

$D - \frac{D}{2} + \frac{D}{4} - \frac{D}{8} + ...$

Que é uma a soma dos termos de uma PG infinita de razão $q = \frac{-1}{2}$. Chamando de d a distância de onde ele começou a correr até o ponto onde ele estará temos que:

$d = D - \frac{D}{2} + \frac{D}{4} - \frac{D}{8} + ... = \frac{D}{1-q}$

Substituindo os dados (D = 14 e q = -1/2) temos:

$d = \frac{14}{1+1/2} = \frac{14}{3/2} \Rightarrow d = \frac{28}{3}$

Note que $\frac{27}{3} < \frac{28}{3} < \frac{30}{3}$. Temos, então, que:

$\boxed{\boxed{9<d<10}}$

R: e)