Question

(UFRS) As diagonais de um quadrilátero ABCD medem 12 cm e 16 cm. O quadrilátero cujos vértices são os pontosmédios M,N,P e Q dos lados do quadrilátero ABCD tem perímetro:a) 42 cm b) 40 cmc) 26 cmd) 28 cme) 19 cm

Answer 1

Pelo enunciado, $\text{P}$ é ponto médio de $\text{DC}$.  Desse modo, $\text{DC}=2\cdot\text{DP}$.

Observe que os triângulos $\text{ADC}$ e $\text{QDP}$ são semelhantes, pois seus ângulos internos são iguais.

Assim:

$\dfrac{\text{DC}}{\text{DP}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{QP}}$

Mas, $\text{DC}=2\cdot\text{DP}$ e $\text{AC}=12~\text{cm}$, substituindo:

$\dfrac{2\cdot\text{DP}}{\text{DP}}=\dfrac{12}{\text{QP}}$

$2=\dfrac{12}{\text{QP}}$

$2\cdot\text{QP}=12~\longrightarrow~\text{QP}=\dfrac{12}{2}~\longrightarrow~\text{QP}=6~\text{cm}$

Analogamente, os triângulos $\text{CBD}$ e $\text{CNP}$ são semelhantes. Com isso, podemos escrever:

$\dfrac{\text{CB}}{\text{CN}}=\dfrac{\text{BD}}{\text{NP}}$

Como $\text{N}$ é ponto médio de $\text{CB}$, temos que $\text{CB}=2\cdot\text{CN}$. Além disso, $\text{BD}=16~\text{cm}$. Substituindo:

$\dfrac{2\cdot\text{CN}}{\text{CN}}=\dfrac{16}{\text{NP}}$

$2=\dfrac{16}{\text{NP}}$

$2\cdot\text{NP}=16~\longrightarrow~\text{NP}=\dfrac{16}{2}~\longrightarrow~\text{NP}=8~\text{cm}$

Como $\text{MNPQ}$ é um paralelogramo seus lados opostos são iguais.

Desta maneira, $\text{QP}=\text{MN}=6~\text{cm}$ e $\text{NP}=\text{MQ}=8~\text{cm}$

Logo, o perímetro procurado é:

$\text{P}=\text{MN}+\text{NP}+\text{QP}+\text{MQ}$
$\text{P}=6+8+6+8$
$\text{P}=28~\text{cm}$

$\text{Alternativa D}$