Question

(UFRGS) A raiz da equação 2^x = 12 é:
a)6
b)3,5
c)log 12
d)2.log2 3
e)2 + log2 3

Answer 1

Definição de logaritmos:

$\boxed{\boxed{log_{b}(a)=c~\ \textless \ =\ \textgreater \ ~b^{c}=a}}$

Propriedades utilizadas:

$log_{b}(x\cdot y)=log_{b}(x)+log_{b}(y)\\\\\\log_{b}(a)=\dfrac{log_{c}(a)}{log_{c}(b)}~~~~(mudanca~de~base)\\\\\\log_{b}(a)=\dfrac{1}{log_{a}(b)}~~~~(vem~da~mudanca~de~base)$
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$2^{x}=12$

Aplicando log na base 10 nos dois lados da equação:

$log(2^{x})=log(12)\\\\x\cdot log(2)=log(12)\\\\x=\dfrac{log(12)}{log(2)}$

Usando a propriedade da mudança de base, vou mudar a base de log(12) para 2:

$x=\dfrac{(\frac{log_{2}(12)}{log_{2}(10)})}{log(2)}\\\\\\x=\dfrac{log_{2}(12)}{log_{2}(10)\cdot log_{10}(2)}~~~~~~~~~(como~log_{b}(a)=\dfrac{1}{log_{a}(b)}):\\\\\\x=\dfrac{log_{2}(12)\cdot log_{10}(2)}{log_{10}(2)}\\\\\\x=log_{2}(12)$

Agora, vamos usar outras propriedades para simplificar log de 12 na base 2:

$x=log_{2}(12)\\\\x=log_{2}(4\cdot3)\\\\x=log_{2}(4)+log_{2}(3)\\\\\boxed{\boxed{x=2+log_{2}(3)}}$

Letra E
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Veja que, se eu tivesse aplicado log na base 2 nos dois lados da equação, o trabalho teria sido bem menor:

$2^{x}=12\\\\log_{2}(2^{x})=log_{2}(12)\\\\x\cdot log_{2}(2)=log_{2}(12)\\\\x\cdot1=log_{2}(12)\\\\x=log_{2}(12)$

Ou até mesmo se comparássemos $2^{x}=12$ com a definição de logarimos ($base^{logaritmo}=logaritmando$), também chegaríamos no mesmo resultado.