Question

(UFRGS 2017)Considere AB um segmento de comprimento 10 e M um ponto desse segmento, distinto de A e de B, como na figura abaixo. Em qualquer posição do ponto M, AMDC é quadrado e BME é triângulo retângulo em M.Tomando x como a medida dos segmentos AM e EM , para que valor(es) de x as áreas do quadrado AMDC e do triângulo BME são iguais?A) 0 e 10/3B) 0, 2 e 3C) 10/3D) 0, 10/3 e 10E) 5

Answer 1

Como AB possui comprimento igual a 10 e AM possui comprimento igual a x, então MB = 10 - x.

A área do quadrado é igual a medida do lado ao quadrado.

Então, a área do quadrado AMDC é igual a:

Aq = x²

A área do triângulo é igual a metade do produto da base pela altura.

Assim, a área do triângulo BME é igual a:

$At = \frac{x(10-x)}{2}$

Igualando as duas áreas:

$x^2 = \frac{x(10-x)}{2}$

2x² = 10x - x²

3x² - 10x = 0

Colocando o x em evidência:

x(3x - 10) = 0

Assim, x = 0 ou $x = \frac{10}{3}$.

Como x é a medida do lado do quadrado e a medida de um dos catetos do triângulo, então x não pode assumir o valor 0.

Portanto, a alternativa correta é a letra c).