Question

(Ufop – MG) Resolva a inequação log2 (x – 3) + log2 (x – 2) < 1.

consegui desenvolver o cálculo inteiro, descobri que as raízes são 1 e 4, mas não entendo qual é o conjunto solução, considerando que x tem que ser maior que 3?

Answer 1

Olá Nvtvliv, neste exercício vamos explorar as inequações logarítmicas e as propriedades de logaritmo. Vamos lá!

Resposta:

$S=\{x \in \mathbb{R} : 3<x<4\}$

Explicação passo-a-passo:

Observemos inicialmente, as condições de existência dessa inequação:

C.E.: x-3>0 =>x>3     -----------------3----------  => C.E.: x>3

       x-2>0 => x>2    ----------2-----------------  =>

Vamos à solução:

$log_2(x-3)+log_2(x-2)<1 \iff log_2[(x-3).(x-2)]<log_2(2) \iff (x-3).(x-2)<2 \iff x^2-5x+6<2 \iff x^2-5x+4 < 0$

Você disse que as raízes da equação $x^2-5x+4=0$ são x1=1 e x2=4. A parte que você talvez não compreendeu foi que se trata de uma inequação. Observe que, nesta inequação, o valor de $y=x^2-5x+4$ deve ser menor que zero. Vamos estudar o sinal de y.

Observe na figura anexa. O sinal de y se estuda considerando este uma parábola (função do 2º grau). A primeira solução está em verde. Sendo assim, precisamos encontrar a intersecção entre os valores de x em anexo e x>3. Observe a segunda parte do anexo. A intersecção (resposta geométrica) está em preto.

Espero ter ajudado e esclarecido suas dúvidas!