Question

(UFMG) Suponha que a equação $8^{ax + bx + c}=4^{3x + 5} * 2^{5x-x+8}$ seja válida para todo número real x, em que a, b e c são números reais. Então, a soma a + b + c é igual a:

a)$\frac{5}{3}$

b)$\frac{17}{3}$

c)$\frac{28}{3}$

d)12

Eu tentei resolver mas cheguei nisso aqui

$3ax^2+3bx+3c=50x^2-4x+80$

Não sei fiz certo ou o que.. rsrs

Answer 1

$8^{ax^2+bx+c}=4^{3x+5}\times2^{5x^2-x+8}\\\\(2^3)^{ax^2+bx+c}=(2^2)^{3x+5}\times(2)^{5x^2-x+8}\\\\2^{3ax^2+3bx+3c}=2^{6x+10}\times2^{5x^2-x+8}\\\\2^{3ax^2+3bx+3c}=2^{6x+10+5x^2-x+8}\\\\2^{3ax^2+3bx+3c}=2^{5x^2+5x+18}\\\\3ax^2+3bx+3c=5x^2+5x+18$

 Para que a igualdade seja verdadeira devemos comparar/igualar os coeficientes cujos graus são iguais, portanto:

$\begin{cases}3a=5\Rightarrow\boxed{a=\frac{5}{3}}\\\\3b=5\Rightarrow\boxed{b=\frac{5}{3}}\\\\3c=18\Rightarrow\boxed{c=6}\end{cases}$

 Então,

$a+b+c=\frac{5}{3}+\frac{5}{3}+6\\\\a+b+c=\frac{10}{3}+6\\\\\boxed{\boxed{a+b+c=\frac{28}{3}}}$

 Espero ter ajudado!!