Question

(UFAM)As matrizes são muito utilizadas na computação gráfica para representar translação e rotação, por exemplo. Também usamos matrizes para resolver sistemas de equações. Na engenharia elétrica, é muito difícil resolver problemas de circuitos elétricos e linhas de transmissão de energia elétrica sem matrizes. Trabalhar com uma malha de linha de transmissão e passar esse circuito para forma matricial, torna o trabalho mais fácil. A rigor, determinante é uma função que associa uma matriz quadrada a um número real. Esse número real, que é a imagem, é chamado de determinante da matriz quadrada. Os determinantes simplificam e sistematizam a resolução de sistemas de equações lineares. Podemos usar determinante, também, para calcular áreas e volumes. Na geometria analítica, se conhecemos as coordenadas dos vértices de um triângulo, usamos o determinante para calcular a área desse triângulo. Considere um triângulo cujos vértices são os pontos A(1;3), B(7;1) e C(3;5). Qual é a área do triângulo com vértices nos pontos A, B e C ? a) 8 b) 9 c) 12 d) 14 e) 16

Preciso muito, obrigada desde já!!

Answer 1

A área de um triângulo pode ser calculada utilizando o determinante da matriz formada pelos 3 vértices. Quando o triângulo está no plano, a última coluna da matriz é preenchida por 1 e quando ele está no espaço, as três colunas indicam as coordenadas dos vértices.

Sendo D a matriz dos vértices:
$D = \left[\begin{array}{ccc}x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\x_c&y_c&1\end{array}\right]$

A área do triângulo será obtida fazendo:
$A = \dfrac{1}{2} |D|$

Calculando o determinante de D pela regra de Sarrus, temos:
|D| = 16

Sendo, a área vale 8.

Resposta: letra A

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Demi, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se a área do triângulo que tem vértices nos seguintes pontos:

A(1; 3); B(7; 1) e C(3; 5)

ii) Veja que a área de um triângulo poderá ser obtida a partir da matriz formada pelas coordenadas dos seus vértices. Para isso, basta que se calcule "1/2" do módulo do determinante dessa matriz.

iii) Para ganhar tempo, vamos logo calcular qual é o determinante da matriz de que falamos aí em cima. Após encontrarmos o valor do seu determinante, calcularemos quanto é "1/2" do módulo do determinante encontrando, ok? Então vamos formar a matriz a partir das coordenadas dos vértices do triângulo da sua questão e já vamos deixá-la no ponto de desenvolvê-la (regra de Sarrus):

|1.....3.....1|1.....3|
|7.....1.....1|7.....1| ---- desenvolvendo para encontrar o determinante (d):
|3....5.....1|3....5|

d = 1*1*1 + 3*1*3 + 1*7*5 - (3*1*1 + 5*1*1 + 1*7*3)
d = 1 + 9 + 35 - (3 + 5 + 21)
d = 45 - (29) ---- retirando-se os parênteses, ficaremos:
d = 45 - 29
d = 16 <--- Este é o valor do determinante da matriz acima.

iv) Finalmente, agora vamos calcular quanto é "1/2" do módulo do determinante que acabamos de encontrar. Assim, chamando a área do determinante de A, teremos:

A = (1/2)*|16| ---- note que isto é a mesma coisa que:
A = 1*|16| / 2 --- ou apenas:
A = |16| / 2 ---- como |16| = 16, ficaremos:
A = 16 / 2
A = 8 u.a. <--- Esta é a resposta. Opção "a". Observação: u.a. = unidades de área.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.