Question

(uern 2015) considere a seguinte equação (x + 2 / 2) = (3x + 1 / 1) A partir dessa equação, conclui-se que o número binomial (2x - 1 / 2) equivale a

a) 3 b) 10 c) 21 d) 60


PS: os números dos parenteses não são frações na verdade são números binomiais, mas como não tinha como colocar direitinho tive que da meu jeito pra ver se fica claro o n e o p

Answer 1

Olá,

O enunciado traz que

$\left[\begin{array}{c}x+2\\2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}3x+1\\1\end{array}\right]$

Temos que

$\left[\begin{array}{c}n\\p\end{array}\right] = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ ... (I)

Aplicando os valores dos números dados no enunciado em (I):

$\left[\begin{array}{c}x+2\\2\end{array}\right] = \frac{(x+2)!}{2!(x+2-2)!} =\frac{(x+2)(x+1)x!}{2!x!} =\frac{(x+2)(x+1)}{2}$

e

$\left[\begin{array}{c}3x+1\\1\end{array}\right] = \frac{(3x+1)!}{1!(3x+1-1)!} = \frac{(3x+1)(3x)!}{(3x)!} =3x+1$

Substituindo os valores obtidos acima na igualdade

$\left[\begin{array}{c}x+2\\2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}3x+1\\1\end{array}\right]$

$\frac{(x+2)(x+1)}{2}=3x+1$

$\frac{x^{2}+3x+2}{2}=3x+1$

$x^{2}+3x+2=6x+2$

$x^{2}-3x=0$

$x(x-3)=0$

$x=0$ ou $x=3$

Aplicando (I) no número $\left[\begin{array}{c}2x-1\\2\end{array}\right]$, segue que

$\left[\begin{array}{c}2x-1\\2\end{array}\right] = \frac{(2x-1)!}{2!(2x-1-2)!} =\frac{(2x-1)!}{2!(2x-3)!} =\frac{(2x-1)(2x-2)(2x-3)!}{2(2x-3)!}=\frac{(2x-1)(2x-2)}{2}$

1) Se x = 0, temos que

$\left[\begin{array}{c}2x-1\\2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1\\2\end{array}\right]=\frac{(-1)(-2)}{2}=\frac{2}{2}=1$

Essa resposta não está correta, pois não podemos considerar n = -1.

2) Se x = 3, temos que

$\left[\begin{array}{c}2x-1\\2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}5\\2\end{array}\right]=\frac{(2.3-1)(2.3-2)}{2}=\frac{5.4}{2}=10$

Logo, a alternativa correta é a letra (B).