Question

(UEM - adaada) Considere a matriz em que Com base nisso, é correto afirmar que Escolha uma: a. A2 ≠ A para todo b. a inversa da matriz A é distinta da matriz A para todo c. o determinante da matriz A2 é 2.3x.

d. se com a, b, c, d então AB = BA se, e somente se, x = 0.

e. a matriz A é invertível para todo

Answer 1

Reescrevendo a questão:

Considere a matriz $A=\left[\begin{array}{ccc}3^x&0\\0&1\end{array}\right]$, em que x ∈ IR.

Com base nisso, é correto afirmar que

Escolha uma:

a) A² ≠ A para todo x ∈ IR

b)  A inversa da matriz A é distinta da matriz A para  todo x ∈ IR

c) O determinante da matriz A² é 2.3ˣ

d) Se $B=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$, com a, b, c, d ∈ IR, então AB = BA se, e somente se, x = 0.

e) A matriz A é invertível para todo x ∈ IR.

Solução.

Primeiramente, vamos calcular o determinante da matriz A.

Sendo assim, temos que:

det(A) = 3ˣ.1 - 0.0

det(a) = 3ˣ

o que já elimina a alternativa c.

Como x ∈ IR, perceba que não existe nenhum valor de x que fará com que o determinante seja igual a 0. Isso se deve ao fato de termos um número exponencial.

Uma propriedade importante de determinantes é que:

"Uma matriz é inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de 0.".

Portanto, podemos concluir que a alternativa correta é a letra e).