Question

(UDESC 2010)Doze equipes participarão de um torneio internacional de vôlei; os participantes foram divididos em dois grupos de seis equipes cada. A fase classificatória deste torneio prevê a realização de dois turnos. No primeiro turno, cada equipe jogará contra os adversários do seu próprio grupo e, no segundo, as equipes enfrentarão os times do outro grupo. Ao término da fase de classificação, os dois primeiros colocados de cada grupo avançarão para a fase final, que será disputada em turno único, num só grupo, com cada classificado jogando contra todos os outros times. O time que obtiver a primeira colocação na fase final será declarado campeão do torneio. De acordo com este regulamento, o total de jogos realizados durante o torneio é igual a:A) 102B) 66C) 77D) 72E) 108

Answer 1

Como temos dois turnos, precisaremos realizar dois cálculos principais e outros mais secundários. Cada turno terá seis equipes, basta realizar a combinação com n = 6 e p = 2, afinal, as equipes se enfrentarão dentro do próprio grupo.

$C_{n, p} = \frac{n!}{(n - p)! * p!}$

$C_{6, 2} = \frac{6!}{(6 - 2)! * 2!}$

$C_{6, 2} = \frac{6!}{(4! * 2!}$

$C_{6, 2} = \frac{6 * 5 * 4!}{(4! * 2!}$

$C_{6, 2} = \frac{30}{2} = 15$

São dois grupos, portanto, 15 * 2 = 30. Quando haver o segundo turno, as equipes enfrentarão as equipes do outro grupo. 6 equipes contra 6 equipes, igual a 36.

No final, dois primeiros colocados enfrentarão as outras equipes do mesmo grupo. Dessa forma, será uma combinação de C(4,2) que será 6.

Dessa maneira, a soma de todos esses números será o número de jogos: 30 + 42 = 72. Portanto, alternativa D.

Answer 2

Primeiro turno:

Supondo que cada time joga contra todos do seu grupo, temos 6 times e cada um joga contra 5 times, porém cada jogo é contado duas vezes. Pelo PFC:

$T_1 = 2\cdot\left( \dfrac{6\cdot5}{2}\right)$

$T_1 = 30$

Segundo turno:

Cada time do primeiro grupo joga contra cada time do segundo grupo:

$T_2 = 6\cdot6$

$T_2 = 36$

Fase final:

Existem 4 times e cada um deles joga contra os outros 3 restantes, porém cada jogo é contado duas vezes.

$F = \dfrac{4\cdot3}{2}$

$R = 6$

O total de jogos é 72.