Question

(U. F. Triangulo Mineiro-MG) Considere as matrizes A = ($a_{ij}$)$_{2x2}$ tal que $a_{ij}$ = i² + j², e B = ($b_{ij}$)$_{2x2}$, tal que $b_{ij}$ = (i + j)². Determine:

a) pela lei de formação, a matriz C resultante da soma das matrizes A e B.

b) a matriz M de ordem 2 que é solução da equação matricial $A * M + B = 0$, em que 0 representa a matriz nula de ordem 2.

Com cálculos simplificados por favor

Answer 1

$A=\left[\begin{array}{ccc}1^2+1^2&1^2+2^2\\2^2+1^2&2^2+2^2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}2&5\\5&8\end{array}\right]\\\\\\B=\left[\begin{array}{ccc}(1+1)^2&(1+2)^2\\(2+1)^2&(2+2)^2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}4&9\\9&16\end{array}\right]$

a)

$C=\left[\begin{array}{ccc}2+4&4+9\\5+9&8+16\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}6&13\\14&24\end{array}\right]$

b)

$\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}2&5\\5&8\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}4&9\\9&16\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right]\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}2*a+5*b&5*a+8*b\\2*c+5*d&5*c+8*d\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}4&9\\9&16\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right]\\\\\\\left \{ {{2a+5b+4=0} \atop {5a+8b+9=0}} \right. \\\\\left \{ {{2c+5d+9=0} \atop {5c+8d+16=0}} \right.$

Pra resolver os sistemas há varios metodos. Como há apenas 2 equações por sistema a substituição fica conveniente.

Resolvendo acharemos:

a = -13/9

b = -2/9

c = -8/9

d = -13/9

Assim:

$M=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{13}{9}&-\frac{2}{9}\\-\frac{8}{9}&-\frac{13}{9}\end{array}\right]$