Question

tomando-se como referência os pontos medios de três arestas convergentes de um cubo, retira-se dele um tetraedro. Se o cubo tem 2cm de aresta, o sólido resultante, um heptaedro, possui área das faces igual a:

Answer 1

1. Antes de retirarmos o tetraedro do cubo, cada uma de suas 6 faces tinham a área (Afc) correspondente a um quadrado de aresta igual a 2 cm:
Afc = 2 cm × 2 cm
Afc = 4 cm²

2. O tetraedro resultante do descrito no enunciado, tem três faces laterais que são triângulos retângulos, nos quais os catetos medem 1 cm (metade da aresta do cubo) e a hipotenusa (x) tem a sua medida obtida através do Teorema de Pitágoras:
x² = 1² + 1²
x² = 2
x = √2
A área de cada um destes três triângulos retângulos (At) é igual a:
At = (b × h) ÷ 2
Como b e h medem a metade da aresta do cubo, ficamos com:
At = (1 cm × 1 cm) ÷ 2
At = 0,5 cm²
(No anexo, IDK, IJD e JDK)
Assim, as três das faces do cubo que têm a supressão destes triângulos retângulos, ficam com área (Afc - At) igual a:
(Afc - At) = 4 cm² - 0,5 cm²
(Afc - At) = 3,5 cm²
(No anexo, faces AIKHE, ABCJI e JCGHK)
3. Ao retirarmos o tetraedro, conforme descrito no enunciado, três das faces do cubo não sofrem nenhuma alteração, e suas áreas permanecem as que foram calculadas no item 1:
Afc = 4,0 cm²
(No anexo, faces ABFE, BCGF e EFGH)
4. Ao retirarmos do cubo o tetraedro, surge uma sétima face, triangular equilátera, cujas arestas  medem o valor obtido no item 2:
x = √2
A área deste triângulo equilátero (Ate) é, então, igual a:
Ate = x²√3 ÷ 4
Substituindo o valor de x:
Ate = (√2)² × √3 ÷ 4
Ate = 2 × √3 ÷ 4
Ate = √3 ÷ 2
Ate = 0,866 cm²
(No anexo, face IJK)

Assim, as sete faces do heptaedro resultante da seção realizada no cubo, têm as seguintes áreas:
- Três áreas inalteradas: Afc = 4 cm²
- Três áreas com a supressão de um triângulo retângulo: (Afc - At) = 3,5 cm²
- Uma face triangular equilátera: Ate = 0,866 cm²

A área total das faces do heptaedro (Ah) é, portanto, igual a:
Ah = (3 × 4,0) + (3 × 3,5) + 0,866

Ah = 23,366 cm²