Question

$\large\boxed{\begin{array}{lllllllllll}\large\boxed{\begin{array}{lllllllllll} \huge \rm \: \int_{ - 1}^{ 4} (7x - 3)\,dx\end{array}} \end{array}}$
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Answer 1

Dada a integral definida:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf \int_{ - 1}^{ 4 } (7x - 3)dx \: \: \bullet$

Primeiro, é interessante utilizar a propriedade da soma de integrais. (Não é necessário, mas é bom sempre ficar usando as propriedades para memorizar de fato ela). Essa propriedade é:

$\boxed{ \sf \int_{a}^{ b} [f(x) + \cdots+ g(x)]dx = \int_{a}^{ b} f(x) + \cdots + \int_{a}^{ b} g(x)dx}$

Aplicando na integral, temos:

$\sf \int_{ - 1}^{ 4} 7xdx -\int_{ - 1}^{ 4} 3dx \: \: \to \: \:\int_{ - 1}^{ 4} 7xdx - \int_{ - 1}^{ 4} 3dx$

Para conhecer mais as propriedades, podemos também aplicar a da constante multiplicada por um integral:

$\: \: \boxed{ \sf \int_{ a}^{ b} k.f(x)dx \: \: \to \: \: k.\int_{a}^{ b} f(x)dx }$

Aplicando na integral, temos:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf 7\int_{ - 1}^{ 4} xdx - 3\int_{ - 1}^{ 4} dx$

Para a primeira integral devemos utilizar a regra da potência de integrais e para a segunda a integral mais simples de todas, dadas por:

$\: \boxed{ \sf \int udu = \frac{u {}^{n + 1} }{n + 1} +c\: \: e \: \: \int du = u + c}$

Aplicando nas integrais, temos:

$\: \: \: \: \: \: \sf 7. \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} \bigg | _{ - 1}^{ 4 } - 3. \frac{x {}^{0 + 1} }{0 + 1} \bigg | _{ - 1}^{ 4} \\ \\ \sf \frac{7x {}^{2} }{2} \bigg | _{ - 1}^{ 4 } - 3x\bigg | _{ - 1}^{ 4 }$

Por fim, basta aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, dado por:

$\: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)}$

Aplicando na integral, temos:

$\sf \left( \frac{7.4 {}^{2} }{2} - \frac{7.( - 1) {}^{2} }{ 2} \right) - \left(3.(4) - (3.( - 1) \right) \\ \\ \left( \sf 56 - \frac{7}{2} \right) - \sf (12 + 3) \: \: \to \: \: \sf \frac{112 - 7}{2} - 15 \\ \\ \sf \frac{105}{2} - 15 \: \: \to \: \: \sf \frac{105 - 30}{2} \\ \\ \boxed{ \sf \frac{75}{2} }$

É isso.