Question

$Integral \sqrt{X+3/X-1}$√$\frac{X+3}{X-1}$

Answer 1

Temos:

∫$Raiz( \frac{(x+3)}{(x-1)} )dx$

Vamos dividir a integral em duas frações:

∫$\frac{ \sqrt{x+3} }{ \sqrt{x-1} } dx$


Fazendo √x+3 = u ficamos


$u = \sqrt{x+3}$

elevando ambos os membros da equação ao quadrado ficamos com:

$\\ u^2 = (\sqrt{x+3} )^2 \\ \\ u^2= x+3$

Derivando para encontrar "du"

$\\ u^2 = x+3 \\ 2udu = dx$

Temos que isolar "x" na equação:

$\\ u^2 = x+3 \\ u^2-3=x$

A nova integral ficara:

∫$\frac{u*2udu}{ \sqrt{u^2-3-1} }$

∫$\frac{2u^2du}{ \sqrt{u^2-4} }$

Lembrando da substituição trigonométrica que diz:


Se tiveremos:

x²+a²:  Substitua "x" por → a*tg(b)

x² - a²: sebstitua "x" por → a*sec(b)

a-x²: substitua "x" por → a*Sen(b)

Como podemos ver, nesse caso temos a substituição do tipo Sec(b)

Onde nosso "a" vale "2"

fazendo as devidas substituições teremos:

u = 2*sec(t)

du = 2*sec(t)*Tg(t)dt

Vamos levar esse resultado na integral:


∫$\frac{2*(2Sec(t))^2*2Sec(t)*Tg(t)dt}{ \sqrt{(2Sec(t))^2-4} }$


∫$\frac{2*4*Sec^2(t)*2Sec(t)*Tg(t)dt}{ \sqrt{4*Sec^2(t)-4} }$

Vamos colocar 0 4 em envidencia na raiz:



∫$\frac{16*Sec^3(t)*Tg(t)dt}{ \sqrt{4(Sec^2(t)-1} }$


∫$\frac{16*Sec^3(t)*Tg(t)dt}{ \sqrt{4}* \sqrt{Sec^2(t)-1} }$

Sabemos por definição que:

1 + tg²(x) = Sec²(x)  ← Se isolarmos o 1 fica:

Tg²(x) = sec²(x) - 1  ← Repare que podemos substituir essa expressão na raiz:

∫$\frac{16*Sec^3(t)Tg(t)dt}{2* \sqrt{Tg^2(t)} }$


Cancelando a Tg²(t) da raiz ficamos:

∫$\frac{16*sec^3(t)*tg(t)dt}{2*Tg(t)}$

Simplificando Tg(t) do numerador pelo denominador, e dividindo o numerador e denominador por "2" ficaremos com:

∫$\frac{8Sec^3(t)*1dt}{1}$

Passando o "8" para fora da INTEGRAL:

8∫$Sec^3(t)dt$

Aplicando a formula de redução de potencias:


∫$Sen^n(x)dx =$  $\frac{tg(x)*Sec^n-^2(x)}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} *Integral(Sec^n^-^2)dx$

∫$sec^3(t)dt = \frac{Tg(t)*Sec(t)}{2} + \frac{1}{2} *Integral(Sec(t)dt)$

∫sec(t)dt já é tabelado: Vale → Ln|Sec(t) + Tg(t)|

Então teremos:

∫$Sec^3(t)dt = \frac{Tg(t)*Sec(t)}{2} + \frac{1}{2} *[Ln|Sec(t) + tg(t)|$

Lembrando que tinhamos o "8" do lado de fora então ficamos com:



8∫$Sec^3(t)dt= 4Tg(t)*Sec(t)+ 4*Ln|Sec(t) + Tg(t)|$


Mas a nossa variavel era "x" e não "t"

teremos que retornar a variavel inicial:

Bom, tinhamos que:

u = 2sec(t)

entao:

$sec(t) = \frac{u}{2}$

sebstituindo Sec(t) por $\frac{1}{cos(t)}$


$\\ \frac{u}{2} = \frac{1}{cos(t)} \\ \\ Cos(t)*u = 2 \\ \\ Cos(t) = \frac{2}{u}$

Lembrando da trigonometria onde diz:

$Cos(x) = \frac{CA}{Hip}$


Podemos dizer que "U" é "HIPOTENUSA"

e

Podemos dizer que "2" é o "CATETO ADJACENTE"

Portanto:




$\\ CA^2 + CO^2 = Hip^2 \\ 2^2 + CO^2 = u^2 \\ CO^2 = u^2-4  \\ CO = \sqrt{u^2-4}$

Agora só relacionar esses dados:




$\\ Tg(t) = \frac{CO}{CA} \\ \\ Tg(t) = \frac{ \sqrt{u^2-4} }{2}$

$\\ Sec(t) = \frac{1}{Cos(t)} \\ \\ Sec(t) = \frac{1}{ \frac{CA}{Hip} } \\ \\ Sec(t) = \frac{Hip}{CA} \\ \\ Sec(t) = \frac{u}{2}$

Levando essas substituições na integral ficamos:

...... = 

$\\ 4* \frac{ \sqrt{u^2-4} }{2} * \frac{u}{2} +4*Ln| \frac{ \sqrt{u^2-4} }{2} + \frac{u}{2} | \\ \\ u* \sqrt{u^2-4} +4*Ln| \frac{ \sqrt{u^2-4} +u}{2}$

Lembrando que "u" foi uma substituição:




$\\ u^2 = x+3 \\ \\ u= \sqrt{x+3}$

Então a integral ficara:



$\\ \sqrt{x+3} * \sqrt{( \sqrt{x+3} )^2-4} +4*Ln| \frac{ \sqrt{(x+3)^2-4} + \sqrt{x+3} }{2} | \\ \\ \sqrt{x+3} * \sqrt{x-1} +4Ln| \frac{ \sqrt{x-1} + \sqrt{x+3} }{2} | \\ \\ \sqrt{(x+3)(x-1)} +4Ln| \frac{ \sqrt{x-1} + \sqrt{x+3} }{2} | + K$