TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA
1. Se – 1 é raiz da equação x3 + x2 – 3x – 3 = 0 , determine as outras raízes.
2. O polinômio p(x) = x3 - x2 + x – a é divisível por x – 1 . Ache todas as raízes complexas de p(x)
3. Uma das raízes da equação 2x3 – 4x2 – 2x + 4 = 0 é 1. Resolva essa equação
4. Resolver x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0 , sabendo que – 2 e 1 são raízes da equação
5. Resolva as equações abaixo:
a) x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0, sabendo que duas de suas raízes são – 1 e 1
b) x3 – 7x2 + 36 = 0, sabendo – se que – 2 é uma das suas raízes
6. Determine o conjunto solução das equações:
a) x4 – 8x3 – 25x2 + 44x + 60 = 0, sabendo que – 1 e 2 são duas de suas raízes
b) x3 – ix2 + 4x – 4i = 0 , sabendo que i é uma de suas raízes
7. Sabendo que – 4 e 3 são raízes da equação x4 + 3x3 – 10x2 – 24x = 0 , determine as outras raízes dessa equação
8 Determine o conjunto solução das equações:
a) 4x3 - 8x2 – 29x + 46x – 12 = 0, sabendo que 4 é raiz
b) 6x4 – 14x3 – 26x2 + 46x – 12 = 0 , sabendo que 1 e – 2 são raízes.
Mkse:
ve a QUESTÃO (2)
é a QUESTÃO (2) tem um (a)???
2. O
polinômio p(x) = x3 - x2 + x – a é divisível por x – 1 . Ache todas as raízes complexas de p(x)
polinômio p(x) = x3 - x2 + x – a é divisível por x – 1 . Ache todas as raízes complexas de p(x)
esse (a)
isso mesmo. p(x) = x3 - x2 + x – a
hummm
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falta
falta 5b, 7 e 8
ok
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7
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA1. Se – 1 é raiz da equação x3 + x2 – 3x – 3 = 0 , determine as outras raízes
.ESSA é a EQUAÇÃO do 3º GRAU
trabalhar TEMOS com: (BRIOT-RUFFINI)
se UMA das RAIZES é (-1)
x = - 1 ( o PRIMEIRO)
x3 + x2 – 3x – 3 = 0
| x³ + x² - 3x |
------|----------------|-------
x³ | 1 1 - 3| - 3
-1 | ↓ - 1 0| +3
----|-----------------|-----
x²| 1 0 - 3| 0 ( resto )
x² + 0x - 3 = 0
AS outras DUAS RAIZES
x² + 0x - 3 = 0
x² - 3 = 0
x² = + 3
x = + - √3 ( outra DUAS raizes)
assim
x' = - 1
(x" = - √3)
(x" = + √3)
2. Opolinômio p(x) = x3 - x2 + x – a é divisível por x – 1 . Ache todas as raízes complexas de p(x)
???????????????????AGUARDANDO
3. Uma das raízes da equação 2x3 – 4x2 – 2x + 4 = 0 é 1. Resolva essa equação
UMA das raizes
x = 1 ( começa com o (1))
2x³ - 4x² - 2x
--------|------------------------|-----
x³ | 2 - 4 - 2 | + 4
1 | ↓ 2 - 2 | - 4
----|-------------------------|----
x²| 2 - 2 - 4 | 0
2x² - 2x - 4 = 0
acha AS outra DUAS raizes
2x² - 2x - 4 = 0
a = 2
b = - 2
c = - 4
Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4(2)(-4)
Δ = + 4 + 32
Δ = 36 -----------------------> √Δ = 6 ( porque √36 = 6)
seΔ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(baskara)
- b + - √Δ
x = --------------
2a
x' = -(-2) - √36/2(2)
x' = + 2 - 6/4
x' = - 4/4
x' = - 1
e
x" = -(-2) + √36/2(2)
x" = + 2 + 6/4
x" = + 8/4
x" = 2
assim
x = 1
x' = - 1
x" = 2
4. Resolver x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0 , sabendo que – 2 e 1 são raízes da equação
RAIZES = ( - 2 E 1)
X = - 2 (1º)
x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0 ,
| x⁴ - x³ - 7x² + x |
----|----------------------|-------
x⁴| 1 -1 - 7 1 | + 6
-2| ↓ -2 +6 +2 | - 6
----|-----------------------|----
x³| 1 -3 -1 3 | 0
x³ - 3x² - 1x + 3 = 0
RAIZ
x = 1
|x³ - 3x² - 1x |
-----|----------------|-----
x³| 1 - 3 - 1 | + 3
1 | ↓ 1 - 2 | - 3
---|-----------------|----
x²| 1 -2 -3 | 0
x² - 2x - 3 = 0
x² - 2x - 3 = 0
a = 1
b = - 2
c = - 3
Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4(1)(-3)
Δ = + 4 + 12
Δ = 16 ----------------------> √Δ = 4 ( porque √16 = 4)
se
Δ > 0 (DUAS raizes diferentes)
(baskara)
- b + - √Δ
x = -----------------
2a
x' = - (-2) - √16/2(1)
x' = + 2 - 4/2
x' = - 2/2
x' = -1
e
x" = -(-2) + √16/2(1)
x" = + 2 + 4/2
x" = 6/2
x" = 3
OUTRA DUAS raizes são
x' = - 1 x" = 3
5. Resolva as equações abaixo:
a) x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0, sabendo que duas de suas raízes são – 1 e 1
1º) RAIZ
x = -1
x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0,
| x⁴ - 2x³ + x² + 2x |
------|------------------------|--------
x⁴ | 1 - 2 1 2 | - 2
-1 | ↓ - 1 + 3 -4 | + 2
----|-------------------------|------
x³ | 1 - 3 4 -2 | 0
1x³ - 3x² + 4x - 2 = 0
2ºRAIZ
x = 1
1x³ - 3x² + 4x + 2 = 0
| 1x³ - 3x² + 4x |
----|--------------------|----
x³ | 1 -3 4 | - 2
1 | ↓ 1 -2 | 2
----|--------------------|------
x² | 1 -2 2 | 0
1x² - 2x + 2 = 0
1x² - 2x + 2 = 0
a = 1
b = - 2
c = 2
Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4(1)(2)
Δ = + 4 - 8
Δ = - 4
se
Δ < 0 ( DUAS raizes COMPLEXA)
Δ = - 4
√ - 4 = √4(-1) = √4i² ( LEMBRANDO QUE (-1 = i²)
√4i² = √2x2i² = √2²i² ( elimina a √(raiz quadrada) com o (²)) fica
2i
assim
√Δ = √4i = √2²i² = 2i
√Δ = 2i
(baskara)
- b + - √Δ
x = -----------------
2a
x' = -(-2) + 2i/2(1)
x' = + 2 + 2i/2 ( divide TUDO por 2)
x' = 1 + i
e
x" = -(-2) - 2i/2(1)
x" = + 2 - 2i/2 ( divide TUDO por 2)
x" = 1 - i
assim
DUAS raizes (OUTRAS) ( número COMPLEXOS)
x' = 1 - i
x" = 1 + i
b) x3 – 7x2 + 36 = 0, sabendo – se que – 2 é uma das suas raízes
6. Determine o conjunto solução das equações:
6. Determine o conjunto solução das equações:
a) x4 – 8x3 – 25x2 + 44x + 60 = 0, sabendo que – 1 e 2 são duas de suas raízes
x = -1 ( 1º)RAIZ
x⁴ - 8x³ - 25x² + 44x + 60 = 0
| x⁴ - 8x³ - 25x² + 44x |
-----|----------------------------|-----
x⁴ | 1 -8 - 25 + 44| + 60
-1 | ↓ -1 +9 +16| -60
-----|----------------------------|-------
x³ | 1 -9 -16 60 | 0
1x³ - 9x² -16x + 60 = 0
2ºRAIZ
X = 2 |1x³ - 9x² - 16x |
-----|--------------------|-----
x³| 1 - 9 - 16 | +60
2 | ↓ 2 -14 | -60
----|--------------------|-----
x² | 1 -7 -30 | 0
1x² - 7x - 30 = 0
1x² - 7x - 30 = 0
a = 1
b = - 7
c = -30
Δ = b² - 4ac
Δ = (-7)² - 4(1)(-30)
Δ = + 49 + 120
Δ = 169 -------------------------> √Δ = 13 ( porque √169 = 13)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(baskara)
- b + - √Δ
x = -----------------
2a
x' = -(-7) - √169/2(1)
x' = + 7 - 13/2
x' = - 6/2
x' = - 3
e
x" = -(-7) + √169/2(1)
x" = + 7 + 13/2
x" = 20/2
x" = 10
as DUAS raizes
x' = - 3
x" = 10
b) x3 – ix2 + 4x – 4i = 0 , sabendo que i é uma de suas raízes
x = i
x³ - ix² + 4x - 4i = 0
| x³ - ix² + 4x |
--------|------------------|-----
x³ | 1 - i 4 | - 4i
i | ↓ 1i 0 | +4i
-------|-------------------|-------
x² | 1 0 4 | 0
1x² + 0x + 4 = 0
1x² + 4 = 0
1x² = - 4
x² = - 4/1
x² =- 4
x = + - √-4
√-4 = √4(-1) = √4i² ( lembrando que (-1) = i²))
√4i² = (4 = 2x2 = 2²)
√4i² = √2²i² ( elimina a √(raiz quadrada) com o (²))
√4i² = 2i
assim
x = + - √-4
x = + - 2i
assim
as DUAS raízes
x' = - 2i
x" = + 2i
7. Sabendo que – 4 e 3 são raízes da equação x4 + 3x3 – 10x2 – 24x = 0 , determine as outras raízes dessa equação
8 Determine o conjunto solução das equações:
a) 4x3 - 8x2 – 29x + 46x – 12 = 0, sabendo que 4 é raiz
b) 6x4 – 14x3 – 26x2 + 46x – 12 = 0 , sabendo que 1 e – 2 são raízes.
.ESSA é a EQUAÇÃO do 3º GRAU
trabalhar TEMOS com: (BRIOT-RUFFINI)
se UMA das RAIZES é (-1)
x = - 1 ( o PRIMEIRO)
x3 + x2 – 3x – 3 = 0
| x³ + x² - 3x |
------|----------------|-------
x³ | 1 1 - 3| - 3
-1 | ↓ - 1 0| +3
----|-----------------|-----
x²| 1 0 - 3| 0 ( resto )
x² + 0x - 3 = 0
AS outras DUAS RAIZES
x² + 0x - 3 = 0
x² - 3 = 0
x² = + 3
x = + - √3 ( outra DUAS raizes)
assim
x' = - 1
(x" = - √3)
(x" = + √3)
2. Opolinômio p(x) = x3 - x2 + x – a é divisível por x – 1 . Ache todas as raízes complexas de p(x)
???????????????????AGUARDANDO
3. Uma das raízes da equação 2x3 – 4x2 – 2x + 4 = 0 é 1. Resolva essa equação
UMA das raizes
x = 1 ( começa com o (1))
2x³ - 4x² - 2x
--------|------------------------|-----
x³ | 2 - 4 - 2 | + 4
1 | ↓ 2 - 2 | - 4
----|-------------------------|----
x²| 2 - 2 - 4 | 0
2x² - 2x - 4 = 0
acha AS outra DUAS raizes
2x² - 2x - 4 = 0
a = 2
b = - 2
c = - 4
Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4(2)(-4)
Δ = + 4 + 32
Δ = 36 -----------------------> √Δ = 6 ( porque √36 = 6)
seΔ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(baskara)
- b + - √Δ
x = --------------
2a
x' = -(-2) - √36/2(2)
x' = + 2 - 6/4
x' = - 4/4
x' = - 1
e
x" = -(-2) + √36/2(2)
x" = + 2 + 6/4
x" = + 8/4
x" = 2
assim
x = 1
x' = - 1
x" = 2
4. Resolver x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0 , sabendo que – 2 e 1 são raízes da equação
RAIZES = ( - 2 E 1)
X = - 2 (1º)
x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0 ,
| x⁴ - x³ - 7x² + x |
----|----------------------|-------
x⁴| 1 -1 - 7 1 | + 6
-2| ↓ -2 +6 +2 | - 6
----|-----------------------|----
x³| 1 -3 -1 3 | 0
x³ - 3x² - 1x + 3 = 0
RAIZ
x = 1
|x³ - 3x² - 1x |
-----|----------------|-----
x³| 1 - 3 - 1 | + 3
1 | ↓ 1 - 2 | - 3
---|-----------------|----
x²| 1 -2 -3 | 0
x² - 2x - 3 = 0
x² - 2x - 3 = 0
a = 1
b = - 2
c = - 3
Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4(1)(-3)
Δ = + 4 + 12
Δ = 16 ----------------------> √Δ = 4 ( porque √16 = 4)
se
Δ > 0 (DUAS raizes diferentes)
(baskara)
- b + - √Δ
x = -----------------
2a
x' = - (-2) - √16/2(1)
x' = + 2 - 4/2
x' = - 2/2
x' = -1
e
x" = -(-2) + √16/2(1)
x" = + 2 + 4/2
x" = 6/2
x" = 3
OUTRA DUAS raizes são
x' = - 1 x" = 3
5. Resolva as equações abaixo:
a) x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0, sabendo que duas de suas raízes são – 1 e 1
1º) RAIZ
x = -1
x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0,
| x⁴ - 2x³ + x² + 2x |
------|------------------------|--------
x⁴ | 1 - 2 1 2 | - 2
-1 | ↓ - 1 + 3 -4 | + 2
----|-------------------------|------
x³ | 1 - 3 4 -2 | 0
1x³ - 3x² + 4x - 2 = 0
2ºRAIZ
x = 1
1x³ - 3x² + 4x + 2 = 0
| 1x³ - 3x² + 4x |
----|--------------------|----
x³ | 1 -3 4 | - 2
1 | ↓ 1 -2 | 2
----|--------------------|------
x² | 1 -2 2 | 0
1x² - 2x + 2 = 0
1x² - 2x + 2 = 0
a = 1
b = - 2
c = 2
Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4(1)(2)
Δ = + 4 - 8
Δ = - 4
se
Δ < 0 ( DUAS raizes COMPLEXA)
Δ = - 4
√ - 4 = √4(-1) = √4i² ( LEMBRANDO QUE (-1 = i²)
√4i² = √2x2i² = √2²i² ( elimina a √(raiz quadrada) com o (²)) fica
2i
assim
√Δ = √4i = √2²i² = 2i
√Δ = 2i
(baskara)
- b + - √Δ
x = -----------------
2a
x' = -(-2) + 2i/2(1)
x' = + 2 + 2i/2 ( divide TUDO por 2)
x' = 1 + i
e
x" = -(-2) - 2i/2(1)
x" = + 2 - 2i/2 ( divide TUDO por 2)
x" = 1 - i
assim
DUAS raizes (OUTRAS) ( número COMPLEXOS)
x' = 1 - i
x" = 1 + i
b) x3 – 7x2 + 36 = 0, sabendo – se que – 2 é uma das suas raízes
6. Determine o conjunto solução das equações:
6. Determine o conjunto solução das equações:
a) x4 – 8x3 – 25x2 + 44x + 60 = 0, sabendo que – 1 e 2 são duas de suas raízes
x = -1 ( 1º)RAIZ
x⁴ - 8x³ - 25x² + 44x + 60 = 0
| x⁴ - 8x³ - 25x² + 44x |
-----|----------------------------|-----
x⁴ | 1 -8 - 25 + 44| + 60
-1 | ↓ -1 +9 +16| -60
-----|----------------------------|-------
x³ | 1 -9 -16 60 | 0
1x³ - 9x² -16x + 60 = 0
2ºRAIZ
X = 2 |1x³ - 9x² - 16x |
-----|--------------------|-----
x³| 1 - 9 - 16 | +60
2 | ↓ 2 -14 | -60
----|--------------------|-----
x² | 1 -7 -30 | 0
1x² - 7x - 30 = 0
1x² - 7x - 30 = 0
a = 1
b = - 7
c = -30
Δ = b² - 4ac
Δ = (-7)² - 4(1)(-30)
Δ = + 49 + 120
Δ = 169 -------------------------> √Δ = 13 ( porque √169 = 13)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(baskara)
- b + - √Δ
x = -----------------
2a
x' = -(-7) - √169/2(1)
x' = + 7 - 13/2
x' = - 6/2
x' = - 3
e
x" = -(-7) + √169/2(1)
x" = + 7 + 13/2
x" = 20/2
x" = 10
as DUAS raizes
x' = - 3
x" = 10
b) x3 – ix2 + 4x – 4i = 0 , sabendo que i é uma de suas raízes
x = i
x³ - ix² + 4x - 4i = 0
| x³ - ix² + 4x |
--------|------------------|-----
x³ | 1 - i 4 | - 4i
i | ↓ 1i 0 | +4i
-------|-------------------|-------
x² | 1 0 4 | 0
1x² + 0x + 4 = 0
1x² + 4 = 0
1x² = - 4
x² = - 4/1
x² =- 4
x = + - √-4
√-4 = √4(-1) = √4i² ( lembrando que (-1) = i²))
√4i² = (4 = 2x2 = 2²)
√4i² = √2²i² ( elimina a √(raiz quadrada) com o (²))
√4i² = 2i
assim
x = + - √-4
x = + - 2i
assim
as DUAS raízes
x' = - 2i
x" = + 2i
7. Sabendo que – 4 e 3 são raízes da equação x4 + 3x3 – 10x2 – 24x = 0 , determine as outras raízes dessa equação
8 Determine o conjunto solução das equações:
a) 4x3 - 8x2 – 29x + 46x – 12 = 0, sabendo que 4 é raiz
b) 6x4 – 14x3 – 26x2 + 46x – 12 = 0 , sabendo que 1 e – 2 são raízes.
Anexos:
Perguntas interessantes