Question

Teorema do resto.

Eu não me dou bem com exatas. Não consigo captar tudo igual nas matérias de humanas.

Alguém poderia me explicar o teorema do resto?

Obrigada!

Answer 1

Oii!

O Teorema do Resto possui uma comprovação um pouco longa, mas sua finalidade é simples.

Imagine o seguinte polinômio: x³ + 2x² - 5x + 1

Agora, pense que você quer dividi-lo por x - 3. Ora, vamos então efetuar essa divisão.

x³ + 2x² - 5x + 1 | x - 3

- x³ + 3x²            | x² + 5x + 10

----------------------  |

5x² - 5x + 1         |

- 5x² + 15x          |

----------------------  |

10x + 1               |

- 10x + 30           |

---------------------- |

31                       |

Portanto, temos como resultado dessa divisão x² + 5x + 10 e resto 31.

Porém, a Teoria do Resto que diz que você não precisa fazer essa divisão para encontrar o resto. Há apenas uma condição:

• O divisor TEM que estar na forma (x - a) ou (x + a).

Como assim?

Simples: Pode ser x - 3 ; x + 6 ; x - 7 ; x + 1 ; etc.

Então, como poderíamos ter feito essa divisão usando a teoria do Teorema do Resto? Assim:

Qual o divisor? x - 3.

Vamos igualar essa expressão a 0 e resolver para x:

x - 3 = 0

x = 3

E agora?

Qual o polinômio que queremos dividir? x³ + 2x² - 5x + 1.

Vamos, então, substituir o valor de x por 3.

x³ + 2x² - 5x + 1

= 3³ + 2.3² - 5.3 + 1

= 27 + 2.9 - 15 + 1

= 27 + 18 - 15 + 1

= 27 + 4

= 31

E o que encontramos? O resto dessa divisão!

Para que usa-se o Teorema do Resto? Diversos motivos. Vou resolver alguns exercícios.

1. Verifique se x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 é divisível por x - 1.

Se quando usamos o Teorema do Resto, encontramos o resto da divisão...para um polinômio ser divisível pelo outro, o resto tem que ser 0. Certo?

Veja:

4 : 2 = 2 (Resto 0) - > 4 é divisível por 2.

9 : 3 = 3 (Resto 0) - > 9 é divisível por 3.

15 : 2 = 7 (Resto 1 ) -> 15 não é divisível por 2, pois possui resto 1.

Então, para x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 ser divisível por x - 1,

x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 : x - 1 = Quociente + Resto 0

Vamos ver se isso é verdade:

• Igualando a expressão x - 1 a 0, temos:

x - 1 = 0

• Calculando para x:

x = 1

• Substituindo o valor de x no polinômio x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2:

1⁵ - 2.1⁴ + 1³ + 1 - 2

= 1 - 2 + 1 + 1 - 2

= -1

Encontramos resto 1...então, x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 não é divisível por x - 1.

2. Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômio

P(x) = x⁴ - mx³ + 5x² + x - 3 por x - 2 seja 6.

O que o enunciado pede? Que a divisão de x⁴ - mx³ + 5x² + x - 3 por x - 2 tenha resto 6.

Primeiro de tudo, vamos calcular o resto dessa divisão sem se preocupar com m.

• Igualando a expressão x - 2 a 0:

x - 2 = 0

• Calculando para x:

x = 2

• Substituindo o valor de x no polinômio x⁴ - mx³ + 5x² + x - 3:

2⁴ - m.2³ + 5.2² + 2 - 3

= 16 - 8m + 20 + 2 - 3

= -8m + 16 + 19

= -8m + 35

• Para o resto dessa divisão ser 6, vamos, portanto, igualar -8m + 35 a 6:

-8m + 35 = 6

• Resolvendo:

-8m = -29

8m = 29

m = 29/8

Então, o valor de m para que a divisão tenha resto 6 tem que ser 29/8.

Existem vários exercícios que podem ser criados a partir do Teorema do Resto. Porém, seguindo a teoria, você conseguirá chegar no resultado! :D

Espero ter ajudado! ;)