Question

Tenho uma prova amanhã sobre Potenciação/Radiação, e gostaria de esclarecer algumas dúvidas.

Sabemos que existem propriedades, e que 3⁴ : 3⁴ é a mesma coisa que 3²
Até aí tudo bem. O meu problema é que não sei o que devo fazer quando as bases são diferentes, como em 3⁴ . 5⁴ ou em 40³ : 5³

Outra coisa que tenho dificuldade é em Radiação, com contas como essa: 10⁴√2 . 6√2 porque ainda não entendi como funciona esse negócio de dividir o MMC por cada radical e tudo o mais.

Também gostaria de saber se essas contas estão certas, e se não, o que fiz de errado:

Answer 1

Vamos lá!

1) Para dividir potências de mesma base, conserva a base e subtrai os expoentes.

$3^4:3^4=3^{4-4}=3^0=1$

2) Quando há multiplicação ou divisão de bases com o mesmo expoente, conserva os expoentes e multiplique/divida as bases

$3^4*5^4=(3*5)^4=15^4$
$40^3:5^3=(40:5)^3=8^3$

3) Para realizar operações com raizes de bases diferentes, é necessário convertê-las à mesma base.

Um dos métodos é transformar:

$\sqrt[4]{2} = \sqrt{ \sqrt{2} }$

E depois fazer a multiplicação normalmente entre os radicandos:

$x=10 \sqrt[4]{2}*6 \sqrt{2}$
$x=10 \sqrt{ \sqrt{2} }*6 \sqrt{2}$
$x=10*6* \sqrt{ \sqrt{2} }*\sqrt{2}$
$x=60* \sqrt{ 2\sqrt{2} }$

Após isso, você pode optar por tirar a raiz de dentro da raiz, para isso é só elevar ao quadrado o que está dentro da raiz maior, mas para essa operação, é necessário multiplicar o índice da raiz maior por 2, para não alterar o resultado final de x.
Ex:

$x=60* \sqrt[2]{2\sqrt{2}}$
$x=60* \sqrt[2*2]{(2\sqrt{2})^2}$
$x=60* \sqrt[4]{2^2* (\sqrt{2})^2 }$
$x=60* \sqrt[4]{4*2 }$
$x=60\sqrt[4]{8}$

Método 2: Deixe a segunda raiz com índice 4

$x=10 \sqrt[4]{2}*6 \sqrt{2}$
$x=10*6* \sqrt[4]{2}*\sqrt[2]{2}$
$x=10*6* \sqrt[4]{2}*\sqrt[2*2]{2^2}$
$x=60* \sqrt[4]{2}*\sqrt[4]{4}$
$x=60* \sqrt[4]{2*4}$
$x=60* \sqrt[4]{8}$

Método 3: Transforme todas as raízes em forma de expoente fracionário

$x=10 \sqrt[4]{2}*6 \sqrt{2}$
$x=10 *2^{\frac{1}{4}}*6*2^{\frac{1}{2}}$
$x=60 *2^{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$
$x=60 *2^{\frac{1}{4}+\frac{2}{4}$
$x=60 *2^{\frac{3}{4}}$
$x=60 * \sqrt[4]{2^3}$
$x=60\sqrt[4]{8}$

4) Fotos

b) Correto

Você poderia ter feito também:

$(\frac{1}{7})^3*( \frac{1}{7})^4= (\frac{1}{7})^{3+4}= (\frac{1}{7})^7$

Mas já está ótimo, é só um outro método, caso tenha curiosidade

f) Para trocar o sinal do expoente, é preciso inverter a fração, porém, você realizou isso duas vezes, faça apenas uma e estará ok!

$5^{-2}*8^{-2}=40^{-2}=( \frac{1}{40})^2= \frac{1^2}{40^2}= \frac{1}{1600}$

Espero ter ajudado!