Question

tem se dois fios metalicos , 1 e 2, de mesma area de sccao transversal. o fio 1 e de cobre e seu comprimento e l1. o fio 2 e de constantan e seu comprimento e l2. determine a relacao l1/l2, sabendo que os fios tem a mesma resistencia eletrica. sao dadas as resistividades do cobre (1,7.10^-8.Ω.m) e do constantan (4,9.10^-7.Ω.m).

Answer 1

         A relação solicitada entre os comprimentos dos dois fios metálicos, de cobre e de constantan é de aproximadamente 28,8.

         Esse é um problema de aplicação dos conceitos de resistência e resistividade. A relação matemática entre essas duas grandezas é também conhecida como segunda lei de Ohm e pode ser escrita como:

                                            $\boxed{\largeR = \rho \cdot \dfrac{L}{A}} \ \sf (I)$

• $\largeR$  ⇒ é a resistência elétrica de um pedaço de fio condutor.

• $\large\rho$  ⇒  é a resistividade do material do qual é feito o fio.

• $\largeL$  ⇒  é o comprimento do fio.

• $\largeA$  ⇒  é a área da seção transversal do fio.

         Para solucionar o problema, começamos escrevendo a equação (I) para os dois pedaços de fio.

                    $\boxed{\largeR_1 = \rho_{Cobre} \cdot \dfrac{L_1}{A_1}} \ \ \ \text{e} \ \ \ \boxed{\largeR_2 = \rho_{Const} \cdot \dfrac{L_2}{A_2}}$

         O enunciado informa que os dois fios têm a mesma resistência elétrica e, portanto, podemos igualar as duas equações acima.

                              $\large\rho_{Cobre} \cdot \dfrac{L_1}{A_1} = \rho_{Const} \cdot \dfrac{L_2}{A_2}$

         Também foi informado que os dois fios possuem mesma área de seção transversal, que chamaremos simplesmente de A. Então,

                              $\large\rho_{Cobre} \cdot \dfrac{L_1}{A} = \rho_{Const} \cdot \dfrac{L_2}{A}$

Multiplicando ambos os lados por A,

                              $\large\rho_{Cobre} \cdot L_1 = \rho_{Const} \cdot L_2$

Podemos escrever,

                              $\boxed{\large\text{ \dfrac{L_1}{L_2} = \dfrac{\rho_{Const}}{\rho_{Cobre} } }}$

Finalmente, substituímos os valores das resistividades dos materiais,

                              $\large\text{ \dfrac{L_1}{L_2} = \dfrac{4{,}9 \times 10 ^{-7}}{1{,}7 \times 10 ^{-8}} }$

                                 $\boxed{\boxed{\large \dfrac{L_1}{L_2} \simeq 28{,}8}}$

E concluímos que a razão entre os comprimentos dos fios de cobre e de constantan é aproximadamente 28,8.

OBS: O resultado nos mostra que para um fio de cobre ter a mesma resistência elétrica que um fio de constantan de mesmo diâmetro, ele deverá ser quase 30 vezes maior.

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