Question

A área de um triângulo equilátero decresce à razão de 4c^2/min. Determine a taxa na qual o comprimento do lado está variando quando a área do triângulo é 100√3

Answer 1

Utilizando derivação implicita e taxa de variação, temos que esta lado esta diminuindo seu lado na taxa de 0,23 cm por minuto.

Explicação passo-a-passo:

A área de um triangulo equilatero é calculada pela seguinte formula:

$A=\frac{L^2.\sqrt{3}}{4}$

Onde L é o lado.

Assim sabendo a área, sabemos a lateral deste triangulo também:

$100\sqrt{3}=\frac{L^2.\sqrt{3}}{4}$

Cortando a raíz dos dois lados e isolando L:

$100=\frac{L^2}{4}$

$L^2=4.100$

$L^2=400$

$L=\sqrt{400}$

$L=20$

Assim temos que esta lateral tem 20 cm.

Agora vamos derivar esta formula de área total de forma implicita, da seguinte forma:

$A=\frac{L^2.\sqrt{3}}{4}$

$A'=\frac{2.L.L'.\sqrt{3}}{4}$

Onde os valores com linha em cima são as derivadas implicitas que representam as taxas de variação.

Substituindo a taxa de variação da área e o valor da lateral, podemos encontrar a variação do lado L':

$A'=\frac{2.L.L'.\sqrt{3}}{4}$

$-4=\frac{2.20.L'.\sqrt{3}}{4}$

$-4=\frac{40.L'.\sqrt{3}}{4}$

$-4=10.L'.\sqrt{3}$

$-0,4=L'.\sqrt{3}$

$L'=\frac{-0,4}{\sqrt{3}}$

$L'=-\frac{4\sqrt{3}}{30}$

$L'=-\frac{2\sqrt{3}}{15}$

Substituindo valores de raíz e arredondando, temos que:

$L'=-0,23$

Assim temos que esta lado esta diminuindo seu lado na taxa de 0,23 cm por minuto.