Question

Suponha que uma viga de diâmetro d1 se rompa sob a ação do próprio peso para um comprimento maior que L1. Qual deve ser o diâmetro mínimo de uma viga feita do mesmo material com comprimento 2L1 para que ela não se rompa pela ação de seu próprio peso ?

Answer 1

Resposta:

Tem que ser no mínimo 4 vezes o diâmetro (D = 4d)

Explicação:

Usando uma força central (F) como o peso da viga (P) para simplificar os cálculos de resistência dos materiais.

As unidades estão conforme o SI (Sistema Internacional de Unidades).

Fórmula de Galileu

F = força [N]

σ = tensão mecânica [Pa]

d = D = diâmetro da viga [m]

L = L1 = 2L1 = comprimento da viga [m]

$F = σ\frac{{d}^{3}}{L}$

Fórmula de massa

m = massa [kg]

V = volume [m³]

ρ = densidade [kg/m³]

V = Lπd²/4 (viga = cilindro)

m = ρV

m = ρLπd²/4

Fórmula de peso

P = peso [N]

g = gravidade = 9,8 m/s²

π = constante = 3,14...

P = gm

P = gρLπd²/4

Fórmula para L1 = L

Força = Peso

$F = σ\frac{{d}^{3}}{L}$

$\frac{gρLπ{d}^2}{4} = σ\frac{{d}^{3}}{L}$

$\frac{gρπ}{4σ} = \frac{{d}^{3}}{{d}^2{L}^2}$

$\frac{gρπ}{4σ} = \frac{d}{{L}^2}$

Fórmula para 2L1 = 2L

Substituindo d por D e L por (2L)

$\frac{gρπ}{4σ} = \frac{D}{{(2L)}^2}$

$\frac{gρπ}{4σ} = \frac{D}{{4L}^2}$

Igualando 2L1 e L1

$\frac{D}{{4L}^2} = \frac{d}{{L}^2}$

$D = \frac{{4L}^2d}{{L}^2}$

$D = 4d$