Question

Suponha que um determinado problema físico seja modelado pela EDO 2 t squared y apostrophe apostrophe plus 3 t y apostrophe minus y equals 0. Nosso objetivo é calcular o Wronskiano dessa equação sem saber quais são duas soluções da mesma, mas garantindo que elas existem. Para isto, consideramos o que chamamos de teorema de Abel. Com base nesse teorema, qual seria o Wronskiano, neste caso?

Assinale a alternativa correta.

Alternativas:

a)
W space equals space c t to the power of negative 3 divided by 2 end exponent

b)
W space equals space c t to the power of negative 3 divided by 2 end exponent space plus 1

c)
W space equals space c t to the power of negative 3 divided by 2 end exponent space minus space 1

d)
W space equals space minus space t to the power of negative 3 divided by 2 end exponent

e)
W space equals space t to the power of negative 3 divided by 2 end exponent over c

Answer 1

Considerando o enunciado e os conhecimentos referentes a equações diferenciais ordinárias, é possível afirmar que a alternativa correta é a letra A.

Sobre equações diferenciais ordinárias:

Para encontrar o Wronskiano iremos utilizar o teorema de Abel. De forma breve, este teorema diz que dada uma EDO do tipo

$y'' + p(t)y'+q(t)y = 0$

O Wroskiano será dado por

$W(y_1,y_2)(t) = ce^{-\int {p(t)}dt }$

onde a constante c depende das soluções y1 e y2. Sabendo disso, tomemos a EDO do problema:

$2t^2y''+3ty'-y=0$

Para aplicar o teorema de Abel, precisamos dividir a expressão por $2t^2$, logo:

$y'' + \dfrac{3}{2t}y'-\dfrac{1}{2t^2}y = 0$

Agora, nossa função p(t) = 3/2t, assim

$\int\frac{3}{2t}dt= > \dfrac{3}{2}\ln{t}$

Aplicando no Wronskiano, teremos

$W(y_1,y_2) = c e^{-\frac{3}{2}\ln{t}}$

Desse modo, já encontramos o resultado, precisamos apenas simplificar. Sabendo que $e^{\ln{x}} = x$, podemos usar essa propriedade. Além disso, pela propriedade de logarítimo, temos que $k.\ln{x} = \ln{x}^k$. Com isso:

$W(y_1,y_2) = c e^{\ln{t}^{\frac{-3}{2}}}\\\\W(y_1,y_2) = c t^{-\frac{3}{2}}$

Saiba mais sobre equações diferenciais ordinárias em https://brainly.com.br/tarefa/17826813

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