Question

suponha que a vazão Q(L/h) da água que percorre uma tubulação seja dada pela equação Q=t^2+5 onde t=h. Calcule o volume de água que passa pela tubulação entre t1=0 e t2=4h. Lembre que Q=dv/dt

Answer 1

Tal como referido no enunciado, temos:

$Q = \dfrac{\textrm{d}V}{\textrm{d}t},$

sendo $V(t)$ o volume de água na tubulação no instante $t$.

Assim, o volume de água que passa pela tubulação entre os instantes $t_1 = 0$ e $t_2 = 4$ é dado pela diferença:

$\Delta V = V(t_2) - V(t_1).$

Aplicando o teorema fundamental do cálculo, temos também:

$\displaystyle \int \limits_0^4 Q(t) \textrm{ d}t = \int\limits_0^4 \dfrac{\textrm{d}V}{\textrm{d}t}\textrm{ d}t = V(4) - V(0) = \Delta V.$

Calculamos, por fim, o integral:

$\Delta V = \displaystyle\int\limits_0^4 (t^2 + 5)\textrm{ d}t = \left[\dfrac{t^3}{3} + 5t\right]_0^4 = \dfrac{4^3}{3} + 5 \times 4 = \dfrac{64}{3} + 20 = \dfrac{124}{3} \simeq 41.33\textrm{ L}.$