Question

Suponha que 3< ou igual f'(x) < ou igual a 5 para todos os valores de x.mostre que 18< ou igual f(8) -f(2)< ou igual 30

Mostre que √(1 +x) < 1 + 1x/2, se x >o

Mostre que a equação x^4 +4x + c=0 TM no máximo duas raízes reais

Answer 1

$3 \leq f'(x) \leq 5 \,$

usando o teorema do valor médio
$\boxed{\boxed{f'(C)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} }}$

portanto
$3 \leq f'(C) \leq 5\\\\\\3 \leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq 5\\\\\\ \boxed{\boxed{3(b-a) \leq f(b)-f(a) \leq 5(b-a)}}$

mostrando que 
18 ≤f(8)-f(2)≤ 30

a = 2 , b= 8

$3(8-2) \leq f(8)-f(2) \leq 5(8-2)\\\\\boxed{\boxed{18 \leq f(8)-f(2) \leq 30}}$

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$f(x)=x^4+4x+c$

se ela tiver duas raízes distintas então
$f'(x)=4x^3+4 =4(x^3+1)\\\\\\f'(K)=0\\\\4(K^3+1)=0\\\\K^3=-1\\\\K= \sqrt[3]{-1} \\\\K=-1$

isso prova que só tem duas raízes
se ela tivesse mais que duas...teríamos achado mais do que  um unico valor para K