Question

Sobre o teto da cabine do elevador, um engenhoso dispositivo coordena a abertura das folhas da porta de aço. No topo, a polia engatada ao motor gira uma polia grande por intermédio de uma correia. Fixa ao mesmo eixo da polia grande, uma engrenagem movimenta a corrente esticada que se mantém assim devido a existência de outra engrena- gem de igual diâmetro, fixa na extremidade oposta da cabine. As folhas da porta, movimentando-se com velocidade constante, devem demorar 5 s para sua abertura completa fazendo com que o vão de entrada na cabine do elevador seja de 1,2 m de largura. Dados: diâmetro das engrenagens .... 6 cm diâmetro da polia menor ....... 6 cm diâmetro da polia maior ........ 36 cm π ............................................ 3 Nessas condições, admitindo insignificante o tempo de aceleração do mecanismo, a freqüência de rotação do eixo do motor deve ser, em Hz, de: a) 4.

Answer 1

Olá!

Do enunciado temos os dados:

- Tempo para sua abertura completa = 5 s

- Diâmetro das engrenagens = 6 cm = 0,06 m

- Diâmetro da polia menor = 6 cm = 0,06 m

- Diâmetro da polia maior = 36 cm = 0,36 m

- π = 3.

Então vamos a començar calculando a velocidade da abertura de cada porta, sabendo que as duas polias menores vão a ter a mesma velocidade.

Como o vão de entrada na cabine do elevador é de 1,2 m, cada porta tem 0,6 m:

$V = \frac{\Delta S}{\Delta T}$

$V = \frac{0,6 m}{5 s}$

$V = 0,12 m/ s$

Agora sabendo que a velocidade de cada porta tem módulo igual ao da velocidade das engrenagens, dessa forma a freqüência da polia maior é dada por:

$V = 2\pi R_{(engranagens)} * F_{(engranagens)}$

Substituimos os dados e isolamos a frequência (f)

$0,12 m/ s = 2 * 3 *\frac{0,06 m}{2} * F$

$0,12 m/ s = 2 * 3 * 0,03 m * F$

$F _{(engranagens)} = \frac{0,12 m/s}{2 * 3 * 0,03m}$

$F _{(engranagens)} = \frac{2}{3} \; Hz$

Sabendo que tanto a polia maior e as menores estão acopladas pelo mesmo eixo, então, elas tem a mesma freqüência:

$V_{menor} = V_{maior}\\ 2\pi * R_{menor} * F_{menor} = 2\pi * R_{maior} * F_{maior}$

$R_{menor} * F_{menor} = R_{maior} * F_{maior}$

$\frac{0,06 m}{2} * F_{menor} = \frac{0,36 m}{2} * \frac{2}{3} Hz$

$0,03 m* F_{menor} = 0,18 m * \frac{2}{3} Hz$

$F_{menor} = \frac{0,12}{0,03}$

$F_{menor} = 4\; Hz$