Question

Sobre o limite abaixo:
$\lim_{(x,y) \to \ (0,0)} \frac{2y ^{2} x }{y^4+x^2}$

Answer 1

olá Sandra.

Temos o limite:

lim (x,y) ->0 2y^2*x/(y^4+x^2)

2 é uma constante, portanto pode saltar para fora.

2*Lim (x,y) -> y^2*x/(y^4 + x^2)

Agora aplique o teorema dos dois caminhos.

Para a reta Y = x
Para reta Y = x^2

Para o 1 caso temos:

2*lim x->0 x^2*x/(x^4+x^2)

2*lim x-> 0 x^3/(x^4 + x^2)

2*lim x->0 x^3/x^2(x^2 +1)

2*lim x -> 0 x/(x^2 + 1)

2*lim x-> 0/(0^2+1)

2*lim x-> 0/1

2*0 = 0
_____________

Agora aplicamos para o 2 caso.

2*lim x -> (x^2)^2*x/((x^2)^4+x^2)

2*lim x->0 x^5/(x^8+ x^2)

2*lim x - >0 x^5/x^2(x^6+1)

2*lim x->0 x^3/(x^6+1)

2*lim x-> 0 0/(0^6+1)

2*lim x-> 0/1

2*0 = 0
__________

O limite tende a "0"

Answer 2

Boa tarde Sandra!

Solução!

Nesse exercício é bem interessante lembrar de um teorema chamado teorema dos caminhos,esse teorema objetiva encontrar entes geométricos para facilitar a simplificação.O mesmo não seria possivel pela regra de L Hospital.


$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{ y^{2} x}{ y^{4}+x^{2}}$

Primeiro caminho a ser escolhido $y=x$


Vamos substituir no limite.


 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{ 2x^{2} y}{ y^{4}+x^{2}}=\displaystyle \lim_{(x) \to (0)} \frac{ 2x^{2} x}{ x^{4}+x^{2}}\\\\\\ \displaystyle \lim_{(x) \to (0)} \frac{ 2x^{3} }{ x^{4}+x^{2}}\\\\\\ \displaystyle \lim_{(x) \to (0)} \frac{ x^{2}(2x) }{ x^{2} (x^{2}+1)}\\\\\\ \displaystyle \lim_{(x) \to (0)} \frac{ (2x) }{ (x^{2}+1)}\\\\\\ \displaystyle \lim_{(x) \to (0,0)} \frac{ (2.0) }{ (0^{2}+1)}\\\\\\ \displaystyle \lim_{(x) \to (0)} \frac{ (0) }{ (1)}=0$



$\boxed{Resposta:\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{ 2y^{2} x}{ y^{4}+x^{2}}=0}$


 Segundo caminho $y= x^{2}$

$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{ 2y^{2} x}{ y^{4}+x^{2}}=\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ 2y^{2} x}{ y^{4}+x^{2}}\\\\\\\\ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ ( 2x^{2} )^{2} x}{ (x^{2} )^{4}+x^{2}}\\\\\\\\ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ ( 2x^{4} ).x}{ (x^{8} )+x^{2}}\\\\\\\\ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ 2x^{5} }{ x^{8} +x^{2}}\\\\\\\\ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ x^{2} (2x^{3}) }{ x^{2} (x^{6} +1)}$

$\displaystyle \lim_{(x) \to (0)} \frac{ (x^{3} ) }{ (x^{6}+ 1 ) }\\\\\\ \displaystyle \lim_{(x) \to (0)} \frac{ (0^{3} ) }{ (0^{6}+ 1 ) }\\\\\\ \displaystyle \lim_{(x) \to (0)} \frac{ (0 ) }{ (0+ 1 ) }\\\\\\ \displaystyle \lim_{(x) \to (0)} 0$



$\boxed{Resposta:\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{ y^{2} x}{ y^{4}+x^{2}}=0}$


Veja que as duas respostas do limite foram iguais,então concluímos que.
 $\boxed{Resposta~~final~~alternativa~~d}$

Boa tarde!
Bons estudos!