Question

Sobre a função f ( x ) = x ³/3 − 3 x²/2 + 10 x + 64 é correto afirmar: É crescente para todo valor de x real. É uma função constante. É crescente para x, tal que –2 < x < 5. É decrescente para todos os valores de x reais. É decrescente para x, tal que {–2 < x < 5}.

Answer 1

Analisando a derivada de função, podemos ver que esta função é sempre crescente para qualquer x.

Explicação passo-a-passo:

Para sabermos sobre a taxa de crescimento de uma função basta fazermos sua derivada:

$f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+10x+64$

$f'(x)=x^2-3x+10$

Então sua derivada é uma função do segundo grau. Sempre que a derivada for positiva, a função original é crescente, e quando for negativa é decrescente. Neste caso, a derivada é uma função do segundo grau, que no gráfico forma uma parabola, ou seja, as partes da parabola que estiverem abaixo do eixo x são negativas, e as que tiverem acima são positivas, para encontrarmos onde esta parabola cruza o eixo x, precisamos achar suas raízes:

$\Delta=b^2-4ac$

$\Delta=9-40=-31$

Sendo o Delta negativo, então a parabola não tem raízes, logo ela não encosta no eixo x, e como esta é uma parabola voltada para cima, isto significa que ela é sempre positiva, e a se a parabola é sempre positiva, então a função original é sempre crescente.