Sistemas lineares resolva
Soluções para a tarefa
Resposta:
A resolução do sistema de equações lineares, empregando-se o Método do Escalonamento, é: S = {(0, 1, 2)}.
Explicação passo a passo:
Vamos à resolução do sistema de três equações lineares, pelo Método do Escalonamento:
{x + y + z = 3 (I)
{2x - 3y + z = -1 (II)
{-x + y - 2z = -3 (III)
- 1º Passo: Vamos fixar a equação (I) e alternar a ordem das equações (II) e (III), tratando de renumerá-las:
{x + y + z = 3 (I)
{-x + y - 2z = -3 (II)
{2x - 3y + z = -1 (III)
- 2º Passo: Vamos fazer a soma da equação (I) com a equação (II), no sentido de "anular" a variável x da equação (II):
{x + y + z = 3
(+)
{-x + y - 2z = -3
(=)
x + (-x) + y + y + z + (-2z) = 3 + (-3)
x - x + 2y + z - 2z = 3 - 3
0x + 2y - z = 0
2y - z = 0
A equação (II) passa a ser 2y - z = 0 e o sistema linear, com a operação de escalonamento feita, passa a ser:
{x + y + z = 3 (I)
{ + 2y - z = 0 (II)
{2x - 3y - 2z = -1 (III)
- 3º Passo: Vamos fazer a multiplicação da equação (I) por "-2" e a posterior adição com a equação (III), no sentido de "anular" a variável "x" da equação (III):
{(-2) · (x + y + z) = (-2) · 3 (I) → - 2x - 2y - 2z = -6
{2x - 3y - 2z = -1 (III)
Agora, façamos a adição entre as duas equações:
{- 2x - 2y - 2z = -6
(+)
{2x - 3y + z = -1
(=)
- 2x + 2x - 2y + (- 3y) - 2z + z = -6 + (-1)
0x - 2y - 3y - z = -6 -1
- 5y - z = -7
A equação (III) passa a ser - 5y - z = -7 e o sistema linear, com a operação de escalonamento feita, passa a ser:
{x + y + z = 3 (I)
{+ 2y - z = 0 (II)
{- 5y - z = -7 (III)
- 4º Passo: Vamos realizar a multiplicação da equação (II) por "5" e a multiplicação da equação (III) por "2", para que seja possível a anulação da variável "y" da equação (III):
{(5) · (+ 2y - z) = (5) · (0) (II) → + 10y - 5z = 0
{(2) · (- 5y - z) = (2) · (-7) (III) → - 10y - 2z = -14
Agora, façamos a soma das duas equações:
{+ 10y - 5z = 0
(+)
{- 10y - 2z = -14
(=)
+ 10y + (- 10y) - 5z + (- 2z) = 0 + (-14)
+ 10y - 10y - 5z - 2z = 0 -14
0y - 7z = -14
- 7z = -14
A equação (III) passa a ser - 7z = -14.
- 5º Passo: Apresentação do Sistema Escalonado:
{x + y + z = 3 (I)
{ + 2y - z = 0 (II)
{ - 7z = -14 (III)
- 6º Passo: Determinar o valor da variável "z", pelo uso da equação (III):
- 7z = -14
z = (-14)/(-7)
z = 14/7
z = 2
- 7º Passo: Determinar o valor da variável "y", pelo uso do resultado da variável "z" (z = 2) na equação (II):
+ 2y - z = 0
+ 2y - 2 = 0
+ 2y = 0 + 2
+ 2y = 2
y = 2/2
y = 1
- 8º Passo: Determinar o valor da variável "x", pelo uso dos resultados das variáveis "y" (y = 1) e "z" (z = 2) na equação I:
x + y + z = 3
x + 1 + 2 = 3
x + 3 = 3
x = 3 - 3
x = 0
- 9º Passo: Construir o conjunto solução do sistema de equações lineares:
S = {(0, 1, 2)}