Question

Sistemas lineares resolva

Answer 1

Após a realização dos cálculos✍️,podemos concluir mediante ao conhecimento de sistemas escalonados que o conjunto solução

do sistema é  $\sf S=\bigg\{\!\bigg(-\dfrac{21}{25},\dfrac{23}{25},\dfrac{12}{5}\bigg)\!\bigg\}$✅

Equação linear

Chamamos de  equação linear  nas incógnitas $\large\sf x_1,x_2,\dotsc,x_n$, toda equação  do tipo $\sf a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\dotsc a_{1n}x_n=b.$ Os números $\sf a_{11},a_{12},a_{13},\dotsc, a_{1n}$, todos reais , são chamados de coeficientes  e b, também real, é o termo independente  da equação.

Exemplos:

• $\sf 3x_1+4x_2-5x_3-x_4=5$
• $\sf2x_1-x_2-x_3=0$

Sistemas lineares

É um conjunto  de $\sf m(m\geqslant1)$ equações lineares, nas incógnitas $\sf x_1,x_2,x_3,\dotsc x_n$. Assim, o sistema

$\sf S=\begin{cases}\sf a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\dotsc a_{1n}x_n=b_1\\\sf a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\dotsc a_{2n}x_n=b_2\\\sf a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\dotsc a_{3n}x_n=b_3\\\sf \dotsc \dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\\\sf a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+\dotsc a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$ é linear.

Solução de um sistema linear

Dizemos que uma sequência ou ênupla  ordenadas de reais $\sf(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\dotsc,\alpha_n)$  é solução de um sistema linear S, se for solução de todas  as equações de S

Sistemas escalonados

Dado um sistema linear

$\sf S=\begin{cases}\sf a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\dotsc a_{1n}x_n=b_1\\\sf a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\dotsc a_{2n}x_n=b_2\\\sf a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\dotsc a_{3n}x_n=b_3\\\sf \dotsc \dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\\\sf a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+\dotsc a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$

em que em cada equação existe pelo menos um coeficiente não nulo, dizemos que  S está na forma escalonada , se o número de  coeficientes  nulos, antes do primeiro coeficiente nulo, aumenta de equação para equação.

Exemplo:

$\sf S_1\begin{cases}\sf x+y+3z=1\\\sf~~~~~ \,\,y-z=4\\\sf~~~~~~~~~2z=5\end{cases}$

Escalonamento de um sistema

Para escalonarmos um sistema, segue-se o seguinte roteiro:

• Colocamos como 1ª equação aquela em que o coeficiente  da 1ª incógnita seja diferente de zero
• Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita de todas as equações (com exceção da primeira ), substituindo a i-ésima equação $\sf(i\geqslant2)$  pela soma desta com a 1ª multiplicada por um número conveniente
• Deixamos de lado a 1ª equação e aplicamos o 1º e 2º passo nas equações restantes .
• Deixamos de lado a 1ª e 2ª equações  e aplicamos o 1º e 2º passos nas equações  restantes, e assim por diante , até o sistema ficar escalonado.

$\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc$

✍️Vamos a resolução da questão

Aqui iremos trocar a 3ª equação de lugar com a primeira:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\begin{cases}\sf 3x-4y+3z=1\\\sf2x-y-z=-5\\\sf x-3y-z=-6\end{cases}\longrightarrow(\sf L_1=L_3\,trocada\,com\,L_1)\\\\\begin{cases}\sf x-3y-z=-6\\\sf 2x-y-z=-5\\\sf3x-4y+3z=1\end{cases}\end{array}}$

Agora iremos multiplicar a 1ª equação por -2 e adicionar com a 2ª, e multiplicar por -3 e adicionar com a 3ª:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\begin{cases}\sf x-3y-z=-6\\\sf~~~~~5y+z=7\\\sf~~~5y+6z=19\end{cases}\end{array}}$

Agora vamos multiplicar a 2ª equação por -1 e adicionar a 3ª equação:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\begin{cases}\sf x-3y-z=-6\\\sf~~~~~5y+z=7\\\sf~~~~~~~~~~5z=12\end{cases}\end{array}}$

Note que o sistema se encontra escalonado. Agora basta encontrar o valor de cada variável e ir substituindo nas demais equações.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf 5z=12\\\sf ~~z=\dfrac{12}{5}\\\\\sf5y+z=7\\\sf 5y+\dfrac{12}{5}=7\cdot(5)\\\\\sf 25y+12=35\\\sf 25y=35-12\\\sf 25y=23\\\sf ~~~y=\dfrac{23}{25}\\\\\sf x-3y-z=-6\\\sf x-3\cdot\bigg(\dfrac{23}{25}\bigg)-\dfrac{12}{5}=-6\cdot(25)\\\\\sf 25x-69-60=-150\\\sf 25x=69+60-150\\\sf 25x=-21\\\sf ~~~x=-\dfrac{21}{25}\end{array}}$

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf S=\bigg\{\!\bigg(-\dfrac{21}{25},\dfrac{23}{25},\dfrac{12}{5}\bigg)\!\bigg\}\end{array}}$

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